| 研究概要 |
普遍摂動的不変量の応用として、以下のことを実行した。3次元多様体として、その構造がよくわかっているレンズ空間に対する不変量の次数1の部分の計算を実行した。次数1の部分は、大槻、村上、Le氏らによって、その3次元多様体のキャッソン不変量と一致することが証明されている。また、レンズ空間のキャッソン不変量はデデキンド和であることが知られている。得られたレンズ空間の不変量の値が、デデキンド和と一致することから、デデキンド和と連分数を結びつける等式の別証明を得ることができた。
また、普遍摂動的不変量がどのくらい強いのかを考察するため、以下のことを実行した。Le氏によって得られた、普遍摂動的不変量から、摂動的量子不変量が再現されるという結果に注目した。普遍摂動的不変量は、コード図とよばれるグラフの形式和に値をとる。そのコード図にリー環を代入するごとに、そのリー環に付随した量子不変量が再現される。まず、次数が低いコード図にリー環sl(n,C)を代入して具体的な値を求めた。更に、以前の研究で得られたレンズ空間の量子不変量を展開することにより、2次以上の係数の主要な部分はホモロジーにしか依存しないことがわかった。更に、摂動的量子不変量に現れる係数をある程度高い次数まで計算することにより、その具体的な形を予想することができた。Le氏の結果と、コード図に対する値と、量子不変量の展開式に現れる係数の値との比較から、レンズ空間に対する普遍摂動的不変量の次数が低い部分は、そのホモロジー群にしか依存しないことがわかった。
今後、普遍摂動的不変量の更に高い次数の部分についても研究を深め、レンズ空間、更に一般の3次元多様体の普遍摂動的不変量とホモロジー群との関係を研究していきたい。
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