| 研究概要 |
経路積分の研究過程で,Lie群のユニタリ表現間のintertwining作用素を具体的な積分作用素として構成する着想を得た.そこで平成10年度の本研究においては,無限次元の場合の準備段階として,有限次元Heisenberg群の場合にこの着想を適用した.この場合,その既約ユニタリ表現の実現の代表的なものとして,Schrodinger表現,Lattice表現およびFock表現があることが知られており,Stone-von Neumannの定理によりこれらは互いにユニタリ同値であるが,このアイデアにより,これらの間のintertwining作用素をHeisenberg群上の積分作用素として構成できる.このとき真空とよばれるFock表現の元を,このintertwining作用素によりLattice表現にうつせばテータ級数が得られることが知られているが,座標表示および運動量表示の2つのSchrodinger表現を経由するintertwining作用素を構成するとき,そのユニタリ性から可換性が得られ,真空の2つの像を等置したものが,テータ級数に関するJacobiの恒等式に他ならないことがわかった.またFock表現とSchrodinger表現の間のintertwining作用素が可換であるためには,Sp(n,R)のmoduliのパラメータの空間への作用が通常の1次分数変換を捻った恰好になることがわかった.
そこでこれを一般化して,これらintertwining作用素と,Sp(n,R)の合同部分群に関するテータ級数の保型性との関係を調べる.また何故可換性を要求すれば,通常の1次分数変換を捻った恰好になるのかその理由を説明することは,spherical harmonics,pluri-harmonicsを係数に持つテータ級数についても同様のことを行うこととあわせて,今後の急務と思われる.
cf.Intertwining operators of the Heisenberg group,preprint(1998),(Kyushu Math.J.に投稿中)
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