| 研究概要 |
降旗・森による離散変分法とその適用例を以下の点で拡張することに成功した.
1.複素数値散逸系への離散変分法の適用…本来,実数値偏微分方程式に対して提案された離散変分法は,すでに松尾の研究により複素数値偏微分方程式の場合に拡張され,実際に非線形Schrodinger方程式に対して適用可能であることが示されているが,本研究ではさらに複素数値Ginzburg-Landau方程式,Newell-Whitehead方程式などに適用可能であることを示し,具体的に数値実験を行った.
2.線形化テクニックの繰り込み…非線形偏微分方程式に対し通常の離散変分法を適用すると,一般には非線形な差分スキームが得られるが,非線形項が特殊な形をしている場合に限り,陰的線形な差分スキームを導出できることを発見し,その手法を具体的に離散変分法に組み込んだ.その結果,非線形Schrodinger方程式に対して知られていたFeiの陰的線形差分スキームが離散変分法の枠組みで改めて理解されたほか,Cahn-Hilliard方程式,Ginzburg-Landau方程式,Newell-Whitehead方程式など,さまざまな非線形偏微分方程式に対して,陰的線形差分スキームが導出できることが確認された.この陰的線形差分スキームは,離散変分法の特色として,もとの非線形偏微分方程式の性質に応じて散逸的,あるいは保存的であり,その性質により安定であることが期待されるが,事実,非線形Schrodinger方程式,およびCahn-Hilliard方程式の場合には理論的に安定性が示されている.
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