極小表現に基づくテータ級数の一般化

• 研究課題/領域番号: 10874008
• 研究種目: 萌芽的研究
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 立教大学
• 研究代表者: 佐藤 文広 立教大学, 理学部, 教授 (20120884)
• 研究分担者: 落合 啓之 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (90214163) ; 高瀬 幸一 宮城教育大学, 教育学部, 助教授 (60197093) ; 宇澤 達 立教大学, 理学部, 助教授 (40232813)
• 研究期間 (年度): 1998 – 2000
• 研究課題ステータス: 完了 (2000年度)
• 配分額: 1,900千円 (直接経費: 1,900千円); 2000年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 1999年度: 500千円 (直接経費: 500千円); 1998年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
• キーワード: テータ級数 / Weil表現 / 概均質ベクトル空間 / 保型形式 / Jacobi形式 / テータリフト / ジーゲル保型形式 / 次元公式 / 羃単表現 / 随伴サイクル / Siegel保型形式 / Koecher-Maass級数 / Jocobi形式 / 冪単表現

研究概要

1.研究代表者は,昨年に引き続き,概均質ベクトル空間(SO(2,2)×GL(2),M(4,2))に対応する保型形式付きゼータ関数の詳細な研究を行った.特に,すでに得られていたMaassの波動形式付きゼータ関数の明示公式の類似を正則保型形式付きの場合に得ることができた.同様の結果は,この空間のコンパクト形の場合にBoechererとSchulze-Pillotによって得られているが,合成積の構造が幾何学的に得られることが我々の方法の特徴である.
2.分担者Ochiaiは,半単純リー群のユニタリ最高ウエイト表現の次数について調べ,(a)スカラー型の最高ウエイト表現の次数をリー環の型に依らずに与える公式,(b)スカラー型でない場合はKazhdan-Lusztig型の分解公式を用い,例外型リー環の場合にisotropy表現との関係を示唆する公式(加藤昇平との共同研究),を得た.これは,例外型テータリフトの存在を示唆している.
3.分担者高瀬は,(a)Weil表現とJacobi群の表現論との関係から,Jacobi形式と重さ半整数のSiegel尖点形式の対応を表現論的に解明した,(b)Weil表現を用いて,Riemannのテータ級数の変換公式に現れるユニタリ行列の表現論的意味を明らかにし,行列成分の明示公式を得た,(c)Weil表現のK-タイプベクトルを決定し,Hermite多項式の多変数への新しい一般化を得た.又,それらの一般化されたHermite多項式に付随するテータ級数の変換公式を与えた.(d)実半単純代数群上の可積分表現に付随する保型形式の再生核の収束性と有界性の証明を与えた.などの結果を得ることができた.

研究成果

• [文献書誌] H.Ochiai: "Classification of commuting differential operators with two variables"Yang-Baxter systems, non-linear models and their applications,World Sci.. 183-187 (2000)
• [文献書誌] H.Ochiai: "Bernstein degree and associated cycles of Harish-Chandra modules (with K.Nishiyama and K.Taniguchi)"Asterisque, Societe mathematique de france. (to appear).
• [文献書誌] H.Ochiai: "The degree of orbits of multiplicity-free actions (with Shohei Kato)"Asterisque, Societe mathematique de france. (to appear). (2001)
• [文献書誌] H.Ochiai: "Non-commutative harmonic oscillators and Fuchsian ordinary differential equations"Communications in Mathematical Physics. (to appear). (2001)
• [文献書誌] F.Sato: "Local densities of representations of quadratic forms over p-adic integers (the non-dyadic case)"J.Number Theory. 83. 106-136 (2000)
• [文献書誌] 佐藤文広: "概均質ベクトル空間と弱球等質空間"第45回代数学シンポジウム報告集. 72-83 (2000)
• [文献書誌] K.Takase: "On Siegel modular forms of half-integral weights and Jacobi forms"Trans.A.M.S.. 351. 735-780 (1999)
• [文献書誌] K.Takase: "An extension for the generalized Poisson summation formula of Weil and its applications"Comment.Math.Univ.St.Pauli. (to appear). (2001)
• [文献書誌] F.Sato and Y.Hironaka: "Local densities of representations of quadratic over p-adic integers: the non-dyadic case"J.of Number Theory. (2000)
• [文献書誌] F.Sato: "b-Functions of prehomogeneous vector spaces attached to flag manifolds of the general linear group"Comment.Math.Univ.St.Pauli. 48. 129-136 (1999)
• [文献書誌] F.Sato and Y.Hironaka: "Local Densities of Representations of Quadratic Forms"第2回整数論オータムワークショップ報告集. (1999)
• [文献書誌] F.Sato and Y.Hironaka: "二次形式の局在密度の明示公式について"数理解析研究所講究録. 1103. 60-70 (1999)
• [文献書誌] H.Ochiai and Y.Hironaka: "Bernstein degree of singular unitary highest weight representations of the metaplectic group"Proc.Japan Acad. 75. 9-11 (1999)
• [文献書誌] 佐藤文広: "概均質ベクトル空間のゼータ関数とKoecher-Maass級数" 第一回整数論オータムワークショップ報告集. (1999)
• [文献書誌] K.Takase: "On Siegel modular forms of half-integral weights and Jacobi forms" Trans.Amer.Math.Soc.351. 735-780 (1999)
• [文献書誌] 高瀬幸一: "Ibukiyama,Saito“On zeta functions associated to symmetric matrices I"の紹介" 第一回整数論オータムワークショップ報告集. (1999)
• [文献書誌] H.Ochiai: "A p-adic property of the Taylor series of exp(x+x p/μ)" Hokkaido Math.J.(1999)