絶対ガロア群とトポロジー

• 研究課題/領域番号: 10874010
• 研究種目: 萌芽的研究
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 森田 茂之 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70011674)
• 研究分担者: 中村 博昭 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60217883)
• 研究期間 (年度): 1998 – 2000
• 研究課題ステータス: 完了 (2000年度)
• 配分額: 1,900千円 (直接経費: 1,900千円); 2000年度: 500千円 (直接経費: 500千円); 1999年度: 500千円 (直接経費: 500千円); 1998年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
• キーワード: 写像類群 / 絶対ガロア群 / リーマン面 / モジュライ空間 / モノドロミー / ジョンソン準同型 / ジョンソン準同形

研究概要

リーマン面のモジュライ空間の算術的な基本群,それは写像類群を副有限完備化したものによる有理数体の絶対ガロア群のある拡大となる.一方,写像類群を近似するある次数付きLie代数から,曲面の基本群のMalcev完備化の微分で,シンプレクティック元を消すようなもの全体のつくる次数付きLie代数(以後h(g)と書く)への,Johnson準同型と呼ばれる自然な射がある.上記算術的な基本群の幾何的な部分と数論的な部分は,それぞれ(位相的な)Johnson準同型の像と余核に現われることがわかっている.本研究はこれら両者の関係をトポロジーの立場から解明することを目指している.本年に実行した研究を具体的に記すと,つぎのようになる.
1.Lie代数h(g)のコホモロジー群の元を大量に定義し,これらとh(g)のSp-不変な部分加群,およびKontsevichのある定理を経由して,自由群の外部自己同型群のホモロジー群の元との関連の本格的な研究に着手した.これらは,Galois元の平方根となることが予想されるものである.
2.トレリ群の構造と絶対ガロア群の外表現との関連について,整数論および位相幾何学の双方の立場からの研究をさらに積み重ねた.
本研究は極めて深く大きな課題であるため,全容の解明にはなお多くの年月を要すると思われるが,今後も着実な成果をあげていきたい.

研究成果

• [文献書誌] MORITA,Shigeyuki: "Structure of the mapping class groups of surfaces : a survey and a prospect"Geometry and Topology Monographs. 2. 349-406 (1999)
• [文献書誌] NAKAMURA,Hiroaki(共著): "On a subgroup of the Grothendreok-Teichmuller group acting on the tower of protinite Teichmuller modular groups"Invent.Math.. 141. 503-560 (2000)
• [文献書誌] NAKAMURA,Hiroaki: "Limits of Golois representations in fundamental groups along maximal degenerations of marked curves"Amer.J.Math.. 121. 315-358 (1999)
• [文献書誌] MORITA,Shigeyuki: "Geometry of Characteristic Classes"American Mathematical Society. 200 (2001)
• [文献書誌] MORITA,Shigeyuki: "Structure of the mapping class groups of surfaces : a survey and a prospect"Geometry and Topology Monographs. 2. 349-406 (1999)
• [文献書誌] Nakamura Hiroaki: "Limits of Galois representations in fundamental groups along maximal degenerations of marked curves"Amer.J.Math.. 121. 315-358 (1999)