ランダム行列の積で表現可能な確率モデルの研究

• 研究課題/領域番号: 10J00385
• 研究種目: 特別研究員奨励費
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 国内
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 中島 誠 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)
• 研究期間 (年度): 2010 – 2011
• 研究課題ステータス: 完了 (2011年度)
• 配分額: 1,400千円 (直接経費: 1,400千円); 2011年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2010年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
• キーワード: 分枝過程 / ランダム環境 / 大偏差原理 / ランダムウォーク / ディレクティドポリマー / ランダム媒質 / 自由エネルギー / 分枝ランダムウォーク / 最左端粒子

研究概要

分枝過程は人口の発展を確率的に表現したモデルであり、現在では物理や数理生物学の分野においても興味の対象となっている。特にランダム環境下における分枝過程は実際に確認できる現象に現れる"ノイズ"を考慮に入れたものであり応用への期待も持たれている。
ランダム環境中の分枝過程には様々な種類がある。その定義の仕方は主に生成分布と呼ばれる各粒子が次の世代に生み出す粒子の数の分布の言葉で表現される。また空間の中を各粒子がランダムに動く分枝ランダムウォークに関しては未解決の問題が多々ある。特に空間を占める粒子の分布やその端にいる粒子の挙動を調べる研究を行っている。
主に二つのことについて研究した。まずある特殊な条件を満たすランダム環境の下での1次元分枝ランダムウォークにおける粒子の左端粒子の位置M(n)の挙動に関する考察である。そのランダム環境の下ではM(n)は非ランダム環境中の分枝ランダムウォークには現れなかった挙動をし、さらに強い振動が起こることも確認できた。
また、ランダム環境中の分枝過程についてその個体数に関する大偏差原理について考察を行った。この問題は粒子が確率1で1体以上の粒子を生み出す場合については解かれていたが死滅する可能性がある場合については解かれていなかった。そこでその問題に取り組み一部解決した。

研究成果

• [雑誌論文] Almost Sure Central Limit Theorem for Branching Random Walks in Random Environment (2011)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 雑誌名: Annals of Applied Probability 巻: vol21 No 1 ページ: 351-373
  • 査読あり
• [雑誌論文] Minimal position of branching random walks in random environment
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 雑誌名: Journal of Theoretical Probability 巻: (掲載確定)
  • 査読あり
• [学会発表] Large deviation principle for branching processes in random environment (2011)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: Doctorial Forum of Mathematics between Fudan and Kyoto Universities
  • 発表場所: 上海(中国)
  • 年月日: 2011-11-03
• [学会発表] Minimal positions of branching random walks in random environment (2011)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: Stochastic Analysis and its Applications
  • 発表場所: ボン(ドイツ)
  • 年月日: 2011-09-09
• [学会発表] Minimal Positions of branching random walks in random environment (2011)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: Doctorial Forum between Fudan-Kyoto universities
  • 発表場所: 京都大学
  • 年月日: 2011-03-11
• [学会発表] Phase transition of measure for branching random walks in random environment (2010)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: 9th workshop on Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems
  • 発表場所: 東京大学(招待講演)
  • 年月日: 2010-09-15
• [学会発表] On the Behavior of the Population Density of Branching Random Walks in Ranndom Environment (2010)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: 34th Conference on Stochastic Processes and Their Applications
  • 発表場所: 千里ライフサイエンスセンター
  • 年月日: 2010-09-09
• [学会発表] On the Behavior of the Population Density of Branching Random Walks in Ranndom Environment (2010)
  • 著者名/発表者名: Makoto Nakashima
  • 学会等名: Universality and Scaling Limits in Probability and Statistical Mechanics
  • 発表場所: 北海道大学(招待講演)
  • 年月日: 2010-09-01