ガロアの逆問題とその数論への応用

• 研究課題/領域番号: 11440013
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 三宅 克哉 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (20023632)
• 研究分担者: 小池 正夫 九州大学, 数理学研究科, 教授 (20022733) ; 中村 博昭 (中村 博明) 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (60217883) ; 中村 憲 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (80110849) ; 八牧 宏美 (八牧 宏明) 熊本大学, 理学部, 教授 (60028199) ; 橋本 喜一朗 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90143370) ; 森田 康夫 東北大学, 理学研究科, 教授 (20011653) ; 北岡 良之 名古屋大学, 多元数理研究科, 教授 (40022686)
• 研究期間 (年度): 1999 – 2001
• 研究課題ステータス: 完了 (2001年度)
• 配分額: 13,200千円 (直接経費: 13,200千円); 2001年度: 4,500千円 (直接経費: 4,500千円); 2000年度: 4,300千円 (直接経費: 4,300千円); 1999年度: 4,400千円 (直接経費: 4,400千円)
• キーワード: ガロアの逆問題 / 二面体拡大 / 生成的多項式族 / ネター問題 / モジュライ空間 / 算術的三角群 / 超幾何多項式 / Greenberg予想 / 三面体拡大 / generic polynomial / ハセの問題 / 二面体群 / l進多重対数函数 / Dutta重複度 / 素数グラフ / モンスター単純群 / Scholz予想 / ダイヘドラル拡大 / 2次体 / 3次体 / 類数問題 / 近藤予想 / 組紐群 / グロタンディーク・タイヒミュラー群

研究概要

1.研究代表者は本研究初年度の1999年に2回のワーク・ショップを開催,また翌年度に2回の研究集会に参画,それらの準備のもとで最終年度に国際研究集会「Galois Theory and Automorphic Forms」を開催した.現在その「報告集」を編纂しており,Kluwer Acad.Publ.から出版される.目的とするところは,古典的で,しかも多岐に展開された関連諸分野から本研究計画に密接にかかわるものを厳選し,その手法を含む情報を収集するとともに,我々の側の研究成果を発信することであった.本研究期間中にこれらの研究集会での招待講演者を含め,総勢14名の研究者を海外から招聘し,研究の実をあげた.2.特に研究代表者は,(1)二面体群に関するガロアの逆問題について奇数nを位数とする巡回群に対して1次分数変換を利用してただ1個のパラメータを持つ「生成的な多項式族」を簡明な形で提示し,さらに橋本喜一朗とともにこの方法を発展させて位数2n(nは奇数)の二面体群に対しても同様に簡明な生成的多項式族を与えた.(2)またn=3の場合の前項の多項式族を数論へ応用し,類数が3で割れる2次体およびその上の3次不分岐巡回拡大のすべてをパラメトライズする3次多項式の族を与えた.(3)数論における代数的方法と解析的方法の相互関連について,歴史的なアイデアの展開を中心にした総合報告を最終年度にまとめた.森田康夫の指導生椎名建仁はPSL_2(P^2)をガロア群に持つ有理数体上の1変数函数体のガロア拡大体の構成に成功した.また橋本喜一朗は正5角形上の二面体群に関して5有理数体上の2-パラメータの生成的多項式族を構成した.3.研究分担者総勢で研究期間中に73編の研究論文をまとめた.最新のもの10点(総計209ペイジ)を選ぴ,研究報告書に付録IIとして添付する.

研究成果

• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Parametrization of the Quodratic Fields whose Class Numbers are divisible by Three"Jour.Number Theory. 80. 209-217 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Ken Nakamula: "Some properlies of non star steps in addition chains and new caees whose the Scholz conjecture is true"Jour.Algorithms. (to appear). (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Hiroaki Nakamura: "On a subgroup of the Crothendieck-Teichmuler group acting on the tower of profimite Teichmuler modular groups"Inventiones math.. 141. 503-560 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Masao Koike: "Some results on Modular Forms-Subgroups of the Modular Group whose ring of modular forms is a polynomial ring"Adv.Stud.in Pure Math. 32. 245-254 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Ki-ichiro Hashimoto: "On Borumers's family of RM-curves of genus two"Tohoku Math.Jour.. 52. 475-488 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Hiroyoshi Yamaki: "Either 71:35 or L_2(71) is a maximal subgroup of the Monsdes"Adv.Stud.in Pure Math.. 32. 449-451 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Katusya Miyake(ed): "Class Field Theory-Its Centenary and Prospect"Math.Soc.of Japan. 632 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Parametrization of the Quadratic Fields whose Class Numbers are divisible by Three (with Y. Kishi)"J. Number Theory. 80. 209-217 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Ken Nakamula: "Some properties of nonstar steps addition chains and new cases where the Scholz conjecture is true (with Hatem〜M. Bahig)"J. Algorithms. (to appear). (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Hiroaki Nakamura: "On a subgroup of the Grothendieck-Teichmuller group acting on the tower of profinite Teichmuller modular groups (with L.Schneps)"Inventiones math. 141. 503-560 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Masao Koike: "Some Results on Modular Forms -Subgroups of the Modular Group whose ring of modular forms is a polynomial ring (with E. Bannai, A. Munemasa and J. Sekiguchi)"Adv. Studies in Pure Math., Math. Sco. Japan, Tokyo. 32. 245-254 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Ki-ichiro Hashimoto: "On Brurfler's family of RM-curves of genus two"Tohoku Math. J.. 52. 475-488 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Hiroyoshi Yamaki: "Either 71 : 35 or L_2(71) is a Maximal subgroup of the Monster"Adv. Studies in Pure Math, Math. Sco. Japan, Tokyo. 32. 449-451 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Katsuya Miyake (edit.): "Class Held Theory - Its Centenary and Prospect"Adv. Studies in Pure Math 30., Math. Sco. Japan, Tokyo. 632 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Hiroyoshi Yamaki, Groups and Combinatorics, in memory of Michio Suzuki (coedit with Eiichi Bannai, Hiroshi Suzuki and Tomoyuki Yoshida): Adv. Studies in Pure Math 32., Math. Sco. Japan, Tokyo. 474 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Some Aspects on Interactions between Algebraic Number Theory and Analytic Number Theory"Number Theoretic Methods-Future Trends, DEVM, Kluwer. (to appear).
• [文献書誌] Ken Nakamula: "Some properties of non star steps in addition chains and new cases where the Scholz conjecture is true"Jour. Algorithms. (to appear). (2002)
• [文献書誌] Hiroaki Nakamura: "Harmonic and equian harmonic equations in Grothendieck-Teichmuler group"Forum Mathematicum. (to appear).
• [文献書誌] Masao Koike: "Some Results on Modular Forms-Subgroups of the Modular Group whose ring of modular forms is a polynomial ring"Ado. Stud. in Pure Math.. 32. 245-254 (2001)
• [文献書誌] Ki-ichiro Hashimoto: "On Generic Families of Cyclic Polynomials with even Degree"Manuscripta Math.. (to appear).
• [文献書誌] Hiroyoshi Yamaki: "Either 21:35 or L_2(71) is maximal subgroup of the Monster"Ado. Stud. in Math.. 32. 449-451 (2001)
• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Class Field Theory-Its Centenary and Prospect"Math. Soc. Japan. 632 (2001)
• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Parametrization of the Quadratic Fields whese Class Numbers are divisible by Three"Journal of Number Theory. 80. 209-217 (2000)
• [文献書誌] Kazuhiko Kurano: "Test modules to calculate Dutta Multiplicities"Journal of Algebra. 236. 216-235 (2001)
• [文献書誌] Hiroaki Nakamura: "On a subgroup of the Grothendieck Teicn muller group acting on the tower of profinite Teichmuller modular groups"Inventiones math. 141. 503-560 (2000)
• [文献書誌] Yoshiyuki Kitaoka: "Distribution of units of real quadratic fields"Nagoya Math.Journal. 158. 167-184 (2000)
• [文献書誌] Ki-ichiro Hashimoto: "On Brumer's family of RM-curves of genus two"Tohoku Math.Journal. 52. 475-488 (2000)
• [文献書誌] Hiroyoshi Yamaki: "Non-abelian Sylon subgroups of finite groups of even order"Inventiones Math.. 136. 525-539 (2000)
• [文献書誌] Katsuya Miyake (ed,): "Class Field Theory-Its Centenary and Prospect, ASPM 30"Math, Soc.Japan. 632 (2001)
• [文献書誌] Katsuya MIYAKE: "Parametrization of the Quadratie Fields whose Class Numbers are divisible by three"Jour. Number Theory. 80. (2000)
• [文献書誌] Ki-ichiro HASHIMOTO: "Inverse Galois Problem for Dibedval Groups"Number Thegry and its Application, ed, by Gyoryd Kanemitsu Kluwer. 165-181 (1999)
• [文献書誌] Hiroaki NAKAMURA: "Limits of Galois repiesestations in fundamental groups along maximal degederation of marked curves I"Amer. J. Math.. 121. 315-358 (1999)
• [文献書誌] Masao KOIKE: "On hypergesmetric pdyncmials over finite fields"Tohoku Math. J.. 51. 75-79 (1999)
• [文献書誌] Yasuo MORITA: "Tate's conjectures for the second etaleachom ologies of abebaic surfaces"Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 1. 45-56 (1999)
• [文献書誌] Hiroyoshi YAMAKI: "Non-abelian Sylow subgroups of fisite groups of ever orders"Inventiones mathematicae. (to appear).