| 研究概要 |
本研究の成果として,アレキサンドロフ空間上の解析の基礎を構築し,さらにそれを発展させた.以下にその概要を述べる.コンパクトアレキサンドロフ空間Mの(1,2)-ソボレフ空間W^<1,2>(M)がL^2空間へコンパクトに埋め込めることを証明した。この命題の系としてラプラシアンのスペクトルが離散的であることが得られた。ここにアレキサンドロフ空間上のラプラシアンはエネルギー形式の生成作用素として関数解析的に定義される。アレキサンドロフ空間上のDC-関数に対してDC-座標近傍から定義されるラプラシアンム:Δ^<DC>(DC-ラプラシアンと呼ぶ)と先に述べたラプラシアンΔとの関係を調べた。さらにラプラシアンの固有関数や熱方程式の局所解の連続性の証明、熱核の存在性を証明した.固定された次元nを持ち曲率【greater than or equal】-1のコンパクトなアレキサンドロフ空間全体の集合A(n)を考える.このA(n)上で,加須栄-久村が導入したスペクトル位相とGromov-Hausdorff位相が同じであることを証明した.この系として次を得た.任意のM∈A(n)と自然数κに対してラプラシアンのk番目の固有値をλ_k(M)とおくと,関数λ_k:A(n)→RはGromov-Hausdorff位相に関して連続関数である.アレキサンドロフ空間を含むリッチ曲率が下に有界な測度距離空間の概念を定義し,そこから完備距離空間へのL^p写像の自然なエネルギーを導入した.さらにこのエネルギーに関して,ポアンカレの不等式,エネルギー測度の存在などを証明した.
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