| 研究概要 |
本研究では,まずファイバー圏と2-カテゴリーの関係について考察し,圏ε上のファイバー圏からなる2-カテゴリーはεの双対圏ε^<op>から圏全体からなる2-カテゴリーcatへの2-ファンクター全体からなる2-カテゴリーと同値であることをみた後,亜群の表現の定義をファイバー圏の概念を用いることによって一般的な形で定義を与えた.さらに,種々の例の構成や自明な表現や正則表現の定義を行うなどして,基本的な事実を整理した.
次に,標数pの素体F_p上の次数付きベクトル空間で,部分ベクトル空間からなる0の基本近傍系を持つような位相ベクトル空間のなす圏をTopVect^*で表せば,F_pを係数とする空間の常コホモロジー群に適当な位相を定義して,常コホモロジー理論をTopVect^*に値をとる関手とする.そこで,TopVect^*において「写像空間」Hom(V^*,W^*)を適切に定義して,関手Z^*→Hom(W^*,Z^*)が完備テンサー積で与えられる関手V^*→V^*【cross product】^^^W^*の右随伴関手の代わりになることを示し,これらの関手に関する種々の性質を調べた.以上の準備のもとで,F_pを係数とする空間の常コホモロジー群を双対スティーンロッド代数が表現するアファイ群スキームのTopVect^*における表現と見做せることを示した上で,Lannesらにより構築されたスティーンロッド代数上の非安定加群の理論の再構築を試み,スティーンロッド代数を特長付けるいくつかの公理を提示した.
また,複素向き付け可能ではないが付随するホップ・アルジェブロイドをもつ実K-理論と複素K-理論の形式群との関連を調べるために,複素射影空間およびそれらの直積の実K-コホモロジー環KO^*(CP^l),KO^*(CP^l×CP^m)のKO^*-代数としての構造を決定した.さらに無限次元複素射影空間の実K-ホモロジー環KO_*(CP^∞)のKO^*-代数としての構造も決定した.
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