| 研究課題/領域番号 |
11640094
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 東海大学 |
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研究代表者 |
田中 實 東海大学, 理学部, 教授 (10112773)
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| 研究分担者 |
野口 光宣 名城大学, 商学部, 教授 (00208331)
山口 勝 東海大学, 理学部, 教授 (10056252)
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| 研究期間 (年度) |
1999 – 2001
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| 研究課題ステータス |
完了 (2001年度)
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| 配分額 *注記 |
3,200千円 (直接経費: 3,200千円)
2001年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
2000年度: 1,400千円 (直接経費: 1,400千円)
1999年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
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| キーワード | 測地線 / 最小跡 / フラクタル集合 / ハウスドルフ次元 / エントロピー次元 / ボロノイ図 |
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| 研究概要 |
リーマン多様体上の測地線の振る舞いの研究は、古典微分幾何学においても盛んに研宋されていた分野である。もちろん古典微分幾何学では、最小跡の概念は無かったので、そのような観点から研究はなされていなかった。20世紀初頭に、ポアンカレが、最小跡の概念を導入したが、1950年代になりクリンゲンバーグらが最小跡に着目することにより、重要なリーマン幾何学における結果が発表されたことにより、この概念の重要性が明らかになった。平成11年度から平成13年度において、最小跡の観点からみた測地線の振る舞いに関する我々の主存結果は、以下の2つである。
定理1 Nを完備リーマン多様体Mの閉部分多様体とする。Nの単位法束上で定義されたNの最小跡までの距離関数は、局所リプシッツ関数である。
次の定理2は、定理1の応用として得えられた。
定理2 Nを完備リーマン多様体Mの閉部分多様体とする。もし、Mの次元が4次元以下ならば、Nからの距離関数に関する臨界値のつくる集合は、測度ゼロであ瓦とくに、ほとんど全てのt>0年対して、Nからの距離がtとなる集合は、位相的超曲面となる。
具体的な回転面においては、シンクレア氏との共同研究により、楕円回転面上のある点における最小跡は、分岐点を持たないことを証明した。
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