| 研究概要 |
グラフGのA-被覆グラフと、対称有向グラフDのg-巡回的A-被覆のΓ-同型類の数え上げについて、明星大学の水野弘文教授と議論しつつ、研究を進めた。
1 被覆グラフについて
p>2が素数のとき、Z_p×Z_p-被覆グラフ、Z_p^3-被覆グラフのΓ-同型類を数え上げた。また、各p>3と4≦n≦pについて、Z_p^n-被覆グラフのΓ-同型類を数え上げることが可能であることを示した。
2 g-巡回的A-被覆について,以下の結果を得た。
(1)p>2が素数のとき、g-巡回的Z_p×Z_p-被覆、g-巡回的Z_p^3-被覆のΓ-同型類を数え上げた。
(2)対称有向グラフDのg-巡回的Z_2^n-被覆、g-巡回的Z_<2n>-被覆のI-同型類を数え上げた。
(3)対称有向グラフの自己同型の群Γが、g-巡回的A-被覆に関するliftをもつための必要十分条件を与え、Aがアーベル群のとき、AのΓによる分裂拡大となるliftを特徴付けた。
3 グラフGの正則被覆グラフ(A-被覆グラフ)の特性多項式の分解公式の応用として、以下の結果を得た。
(1)正則被覆グラフのゼータ関数をL-関数の積で表した。
(2)正則被覆グラフのL-関数の分解公式を求めた。
(3)正則グラフGの正則被覆グラフHのline graph, middle graphのゼータ関数とL-関数を、ある特性多項式で表した。
(4)有向グラフのゼータ関数とL-関数を定義し、Dのg-巡回的A-被覆のゼータ関数をL-関数の積で表した。
(5)Gの正則被覆グラフのoriented line graphのゼータ関数を、Gのoriented line graphのL-関数の積で表し、(1)の別証明を得た。
(6)グラフGの正則被覆グラフのゼータ関数を、Gのprime reduced cyclesに関する無限積で表し、対称的有向グラフDのg-巡回的A-被覆のゼータ関数を、Dのprime cyclesに関する無限積で表した。
Z_p^3-被覆グラフの数え上げについては、投稿中。それ以外については、掲載または、掲載予定。
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