| 研究概要 |
平成11-12年度に行った研究は,次の三つの分野に大きく分けることが出来る:
1.角度変数と一次変換の幾何の関係を調べる.
2.タイヒミュラーモジュラー群(写像類群)を角度変数で表現する.
3.リーマン面上の単純分割閉曲線の性質を解析的に特徴付ける.
タイヒミュラー空間を大域実解析的に簡明に表現するために,私は角度変数を新たに導入した.そして,角度変数のみによるタイヒミュラー空間の変数空間は解析しやすい集合であることを,代表的なタイヒミュラー空間の場合に示していた.
穴あきトーラスを表現するフックス群等の生成元やこれらの積にたいし,軸の配置は非常に高い「対象性」を持つことが分かった.このような一次変換の幾何とトレースや角度変数の関係を,一次変換の平方根や双曲幾何を用いて調べた.この考察から,角度変数の関係式や情報が多く得られた.このような情報から,タイヒミュラーモジュラー群を角度変数のみで表示することを目指し,次の考察を行った:
(1)タイヒミュラーモジュラー群を表示する角度変数と長さ変数の関係を調べる.
(2)このような群で計算が容易な場合に,具体的に角度変数で表示する.
(3)一般の場合の群表示を容易にする角度変数をどのように(帰納的に)とれば良いかを調べる.特に,穴あきトーラスと種数2の閉曲面に関するタイヒミュラーモジュラー群の場合に,角度変数での表示を考察した.
さらに,リーマン面S上の単純閉曲線Lが分割していることを,Sを表現するフックス群Gの特殊線形群SL(2,C)への持ち上げを用いて特徴付けた.例えば,Sが種数p(pは1より大きいとする)の閉リーマン面の場合には,次の主張になる:
Gの持ち上げの個数は2の2p乗となる.Lに対応するGの一つの元をgとする.このとき,Lが分割しているための必要十分条件は,Gの任意の持ち上げにたいして,gを持ち上げた行列のトレースがいつでも負になることである。
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