| 研究概要 |
1.3次元ユークリッド空間内の完備な曲面Pに対し,P上に境界を持つはめ込まれた曲面であって,与えられた体積を持つもの全部の中で,面積汎関数の臨界点であるようなものを,支持曲面Pに対する停留はめ込みと呼ぶ。停留はめ込みXが安定であるとは,P上に境界を持つという性質を保ち,体積を変えないような,Xの任意の変分に対して,面積汎関数の第二変分が非負であるときをいう。本研究においては,特にPが平面である場合について,安定な停留はめ込みは半球面の上への埋め込みに限ることを証明した。
2.3次元ユークリッド空間内の平均曲率一定の回転面であって自己交差を持つもの,即ちnodoidの形状を解析した。
3.3次元ユークリッド空間内の,境界を持つコンパクトな平均曲率一定曲面Xに対し,「Xの近傍で,Xと同じ境界を持つ平均曲率一定曲面の一助変数族が一意的に存在する」ためのXに対する十分条件を求めた。また,平均曲率一定曲面の安定性の判定条件を求めた。両者は共に,面積の第二変分に付随する固有値問題の固有値及び固有関数の性質を用いて表現される。さらに,これらの結果を結びつけることにより,平均曲率一定曲面の一助変数族の体積と平均曲率の変動を用いて安定性・不安定性を判定する方法を得た。
4.3次元ユークリッド空間内の分岐点を持つ極小曲面に対する,面積汎関数の第二変分公式を求めた。
5.3次元空間形内の平均曲率一定曲面が強安定であるための十分条件を,第二基本形式のノルムの2乗の積分やそれプラス曲面の面積の,上からの評価によって表した。
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