| 研究概要 |
リーマン多様体上の古典力学系の構造と対応する量子力学系(シュレディンガー作用素)のスペクトルの性質との関係を考察した。
リーマン多様体上の磁場とは、微分幾何学的には、多様体上の閉2次微分形式と見なすことができ、そして、磁場における(古典的)荷電粒子の運動は、磁場(2次形式)によって変形されたシンプレクティック構造に関するハミルトン力学系として定式化できる。一方、微分形式(磁場)から、多様体上の複素直線束およびその上の接続が定義され、更に、直線束の断面に作用するラプラシアンが定義される。これを磁場における量子力学系のシュレディンガー作用素と見なすことにする。以上の定式化のもとで、得られた主要な成果は以下の通りである。
1.磁場における古典力学系に対する量子化条件(不変トーラスに対する条件)を考察し、それによって定まる(半古典)エネルギー分布と、対応するシュレディンガー作用素のスペクトルの関係を、フーリエ積分作用素の理論に基づいて明らかにした。
2.磁場における力学系の安定な古典周期軌道に対応して、量子エネルギーの半古典近似が得られることを,拡張されたフーリエ積分作用素の理論に基づいて明らかにした。ここで,拡張されたフーリエ積分作用素とは,イソトロピック部分多様体に対応して定義される作用素である。ある種の「量子化条件」を満たす古典周期軌道から定義されるイソトロピック多様体に対応するフーリエ積分作用素によって「近似的な」固有関数のをつくることによって結論を導く。
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