| 研究概要 |
主として変分的方法,関数解析的方法に位相幾何学的性質を加えることにより,退化型準線形楕円型方程式の非自明解の構造について研究を行い,新たな結果を得ることができた。具体的には零および無限大において主要部及び外力項の漸近挙動が等しい増大度を持つ退化型準線形楕円型方程式について解のアプリオリ評価が成り立つことを示し,さらにLeray-Schauderの写像度,Rabinowitzの大域分岐理論を一般化することにより正値解の分岐構造を明らかにした。また,少なくともmini-max原理で得られる固有値において零解および無限大から非自明解が分岐することも示した。さらにそれらの結果を使うことにより,主要部と外力項の漸近挙動が異なる方程式に対して,その正値解の多重性,非存在性,最小解の存在等の結果を示した。この証明においては,とくに正値解の分岐構造が重要な役割を果たした。また,Guedda-Veronのp-ラプラシアンに対する比較定理をこの退化型方程式に拡張することにより,Brezis-Nirenbergの示した"H^1 versis C^1 local minimizer"を一般の退化型準線形楕円型方程式に拡張した。これらの結果を使うことにより正値多重解の存在等の結果を得ることができた。
これらの結果はもちろん領域が有界である場合にも成立するが,非有界領域においても外力項が適当な条件を満たすならばHardyの不等式を使うことによりやはり成立することが証明される。
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