| 研究課題/領域番号 |
11640221
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
大域解析学
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| 研究機関 | 四国大学 |
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研究代表者 |
竹内 博 四国大学, 経営情報学部, 教授 (20197271)
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| 研究分担者 |
張間 忠人 四国大学, 経営情報学部, 助教授 (30258313)
勝田 篤 四国大学, 理学部, 助教授 (60183779)
酒井 隆 四国大学, 理学部, 教授 (70005809)
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| 研究期間 (年度) |
1999 – 2001
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| 研究課題ステータス |
完了 (2001年度)
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| 配分額 *注記 |
3,300千円 (直接経費: 3,300千円)
2001年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2000年度: 1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
1999年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
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| キーワード | P-調和写像 / P-ラプラス作用素 / グラフ / スペクトル / 無限グラフ / グリーン核 / リーマン多様体 / P-harmonic morphism / P-ラプラシアン / 第1固有値 / スペクトラム |
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| 研究概要 |
P-調和写像((p-harmonic map)(1<P<∞)はリーマン多様体MからNへの写像でそのp-エネルギーE_p(u)=∫_M|du|^pdxの臨界点として定義される。特にp=2の場合は普通の調和写像になる。Nが実数の場合はp-調和関数となりΔ_pu=diu(|∇_u|^<p-2>∇_u)=0の解として、与えられる。Mがn次元球面S^nかつpがMの次元に等しいとき(P=dim M=n),S^nからリーマン多様体Nへのn-調和写像の表現定理を得、Compositio Mathematica(1999)に佐賀大学河合教授、山口大学中内助教授との共著論文として発表した。この結果はn=P=2の場合、Sacks-Uhlenbeckの結果である。
Nが実数の場合p-ラプラス作用素Δ_pに対してΔ_pu=-λ|u|^<p-2>uの方程式の非自明解が存在する最小のλをp-ラプラス作用素の第1固有値(スペクトルの最小値)と定義する。研究代表者はこの第1固有値に対する評価としてFaber-Krahn型、Cheeger型、Cheng型評価を以前に得、Tokyo Joumal of Mathematics(1998)に発表した。本研究期間においてこの離散版を得た。すなわちグラフ上のpラプラス作用素を定義して、この固有値の評価として、Cheeger型、Brooks型評価を得た。
リーマン多様体の間のp-harmonic morphismと同様にグラフの間のP-harmonic morphismを次のように定義した。グラフG_1からG_2への写像ψがp-harmonic morphismであるとはG_2上のp-調和関数fに対して合成写像f○ψがG_1上のp-調和関数になるときとする。この写像の特徴づけとしてψがhorizontally conformalとなるときと同値であることを示した。グラフ上のグリーン関数の拡張としてある非線形方程式の解の評価を得た。
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