| 研究概要 |
以下では,2次元複素解析空間の正規特異点を単に2次元特異点とよぶことにする.特異点を分類,解析するためにさまざまな不変量が導入されているが,本研究では特に多重種数δ_mおよび位相的不変量-P・Pに注目した.2次元特異点の場合,δ_m=-P・Pm^2+O(m)となる.
Xを2次元ゴレンスタイン特異点の小変形とし,各ファイバーの-P・Pが不変であると仮定する.昨年度は,RDP良解消という新しいタイプの特異点の部分解消を導入し,Xの同時RDP良解消が存在することを示し,「有理2重点のみをもつ曲面の変形は,適当な基底変換をとると同時特異点解消できる」というBrieskornの結果を用いて,次の定理を得た.
定理 変形Xの適当な基底変換をとれば,その同時特異点解消で各ファイバーが最小良解消になるものが存在する.ここで,良特異点解消とは例外集合が正規交叉因子になるような特異点解消を意味している.
本年度は,この同時特異点解消の性質をさらに詳しく調べた.まず,Xの対数的標準モデルの標準モデルがXの同時RDP良解消になることを示した.その証明から,上記定理の同時特異点解消が,Xの対数的標準モデルを経由することもわかる.この事実を元に,例外集合の数値的な解析を経て,次の定理を得た.
定理 上記定理の同時特異点解消は,各ファイバーの例外集合の「maximal strings」の自明な変形を導く.また,各mについて多重種数δ_mが不変になる(注意:δ_mが不変なら,-P・Pも不変である).
特に,中心ファイバーの例外集合が星型であるときは,特異点の位相不変性が従う.すなわち,数値的不変量の不変性が,位相の不変性を導くということである.位相不変性についてはミルナー数との関連で研究がなされているが,本結果はそれに別のアプローチを与えるものである.
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