| 研究概要 |
圧縮性Navier-Stokes方程式に対して解の一様有界性,定常解の存在,解の漸近挙動,及び周期解の存在について様々な研究を行い,いくつかの新たな結果を得た。主な研究成果は次の通りである。
(A)3次元球環領域における問題
ポテンシャル外力が存在する場において,粘性ポリトロピック気体の球面対称解の漸近挙動を考察した。外力が存在するため,絶対温度に対する各点での下からの一様評価は困難であるが,密度の表現式とエネルギー法による解析を詳細に行い,L^2空間における解の挙動について以下の結果を得た。即ち,初期値と外力は適当な条件を満たすとし,さらにポテンシャルの微分は適当に小さいとする。このとき定常解が唯一つ存在し、密度は上と下から一様に有界であり,絶対温度は上から一様に有界である。そして,時間大域解は定常解にL^2-ノルムで指数的に漸近する。この結果は断熱定数が1より大の場合に対して有効である。
(B)時間周期解の存在
1次元有界領域内における,時間周期的な外力を伴った圧縮性バロトロピック粘性流体の時間周期解の存在を考察した。理想気体,即ち断熱定数が1である場合には,任意に大きな時間周期的外力に対して,時間周期的な解が少なくとも1つ存在するが知られているが,本研究では断熱定数が1より大の場合を考察している。はじめに方程式を空間方向に差分化し,Leray-Schauderの不動点定理を用いて,差分方程式には周期解が存在することを示した。次に各差分方程式の周期解から適当に近似解を構成し,その収束極限として我々の問題の時間周期解をとらえる試みを行った。その際,差分に対する一様な評価を行っている。結果として,時間周期的な外力の大きさが適当に小さければ,外力と同じ周期を持った時間周期解が少なくとも1つ存在することが示された。
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