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クラックの入った有界領域上のラプラス作用素の固有値について

研究課題

研究課題/領域番号 11740094
研究種目

奨励研究(A)

配分区分補助金
研究分野 基礎解析学
研究機関九州大学

研究代表者

吉冨 和志  九州大学, 大学院・数理学研究院, 助手 (40304729)

研究期間 (年度) 1999 – 2000
研究課題ステータス 完了 (2000年度)
配分額 *注記
2,200千円 (直接経費: 2,200千円)
2000年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
1999年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
キーワードラプラス作用素 / 固有値 / 特異摂動問題 / クラック / 楕円型作用素 / ラプラシアン
研究概要

MをR^2の滑らかな領域とし、C:[0,s_0]→R^2を自分自身とは交わらない滑らかな曲線で、C(0),C(s_0)∈∂M,C((0,s_0))⊂Mを満たすものとする。t∈[0,s_0]に対し、M_t=M\C((t,s_0))とおく。L_tを∂M上でDirichlet条件、クラックC((t,s_0))上でNeumann条件に従うM_t上の(-Δ)とする。λ_j(t)をL_tのj番目の固有値とする。MとCは次の(i),(ii)を満たすとする:(i)∃r_0>0s.t.M∩{x∈R^2;|x|<r_0}={x=(x_1,x_2)∈R^2;|x|<r_0,x_1>0},C(t)=(t,0)for t∈[0,r_0].(ii)The curve C intersects ∂M transversely at C(s_0).ここでM\C((0,s_0))の2つの連結成分をM_+とM_-とする。L^±_0を∂M∩∂M_±上でDirichlet条件、C((0,s_0))上でNeumann条件に従うM_±上の-Δとし、λ^±_1をL^±_0の第1固有値とする。またφ^±_1をL^±_0の固有値λ^±_1に対応する固有関数で、‖φ^±_1‖_<L^2(M_±)>=1,φ^±_1>0 on M_±を満たすものとする。φ^±_1は原点の近傍でべき級数展開:φ^±_1(x)=Σ^∞_<j=1>Σ^j_<k=1>C^±_<j、k>r^<2j-1>cos(2k-1)θで表わされる。ここで(r,θ)はxの極座標である。K={j【greater than or equal】2;(C^+_<j,j>)/(C^+_<1,1>)【double plus】(C^-_<j,j>)/(C^-_<1,1>)}とおく。ここで、(iii)λ^-_1^+=λ^-_1を仮定する。K≠0のとき、ν=minKとおく。またλ_0=λ^+_1(=λ^-_1)とおく。このとき、次の定理を得た。
定理
λ_2(ε)〜λ_0+Σ^^∞__<m=1>Σ^^<m-1>__<n=0>λ_<m,n>ε^<2m>(logε)^n as ε→0,λ_<1,0>>0.
K【double plus】0 ⇒ λ_1(ε)〜λ_0+Σ^^∞__<i=2ν-1>Σ^^<[(i-2ν+1)/3]>__<j=0>μ_<i,j>ε^<2i>(logε)j as ε→0,μ_<2ν-1,0>.
K=0 ⇒ ^∃ε_0>0 such that λ_1(ε)=λ_0 on (0,ε_0).

報告書

(2件)
  • 2000 実績報告書
  • 1999 実績報告書
  • 研究成果

    (1件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (1件)

  • [文献書誌] 吉冨和志: "Eigenvalue Problems on Domains with Cracks"シンポジウム「スペクトル・散乱理論とその周辺」講究録,京都大学数理解析研究所. (in press). (2001)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書

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公開日: 1999-04-01   更新日: 2016-04-21  

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