非圧縮性粘性流体の基礎方程式の研究

• 研究課題/領域番号: 11874026
• 研究種目: 萌芽的研究
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 基礎解析学
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728)
• 研究分担者: 長澤 壮之 (長澤 壯之) 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223) ; 堤 誉志雄 (堤誉 志雄) 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027) ; 高木 泉 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40154744)
• 研究期間 (年度): 1999 – 2001
• 研究課題ステータス: 完了 (2001年度)
• 配分額: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円); 2001年度: 600千円 (直接経費: 600千円); 2000年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
• キーワード: ナビエ・ストークス方程式 / エネルギー減衰 / ストレステンソル / 基本解 / L^p-L^q評価 / 外部問題 / 伴流領域 / ストークス流 / オイラー方程式 / ベゾフ空間 / 調和解析 / ソボレフの不等式 / 爆発解 / ストークス作用素 / 分数べき / 補間定理 / 時間大域解

研究概要

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて、Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^γ(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

研究成果

• [文献書誌] H.Kozono: "Weak solutions of the Navier-Stokes ofuations with the test functions in L^n_w"Tohoku Math. J. (2). 53. 55-79 (2001)
• [文献書誌] H.Kozuno: "Rapid tone decay and not torce to the obsta clco by the Stokes flow in exterior domains"Math Ann. 320. 709-730 (2001)
• [文献書誌] H.Kozono, T.Ogawa, H.Tanisaka: "Well-Posedness for the Benjamin equations"J. Korcan Math. Soc. 38. 1205-1234 (2001)
• [文献書誌] H.Kozuno: "On well-poxdness of the Navier-Stokes equations"Adv, Math. Fleud Mech. 207-236 (2001)
• [文献書誌] H.Kozuno, T.Ogawa, Y.Taniuemi: "The critical Sobolev inequalities and the regulaity criherion"Math. Z..
• [文献書誌] 小薗 英雄: "Navier-Stokes方程式"数学.
• [文献書誌] Kozono,H.,Taniuchi,Y.: "Bilinear estimates on BMO and the Navier-Stokes equations"Math Z.. 235. 173-194 (2000)
• [文献書誌] Kozono,H.,Taniuchi,Y.: "Limitting case of the Sobolev inequality on BMO, with application to the Euler equation."Commu.Math.Phy.. 214. 153-197 (2000)
• [文献書誌] Kozono,H.: "Asymptotic stability of large solutions with large perturbation to the Navier-Stokes equations"J.Func.Anal.. 176. 191-200 (2000)
• [文献書誌] Kozono H.,Sohr H.: "On global strong solutions of the Navier-Stokes equations in 4-5D"Am Inst, Henri Poincai Analyse Nonlinearies. 16. 535-561 (1999)
• [文献書誌] Kozono H.,Yamazaki M.: "Uniqueness criterion of weak solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains"Nonlinear Analysis. 38. 759-770 (1999)
• [文献書誌] Ozawa T.,Tsutaya K.,Tsutsumi Y.: "Well-posedness in energy space for the Cauchy problem of KG Eq."Math Ann.. 313. 127-140 (1999)
• [文献書誌] Nagasawa T.: "Construction of weak solution of the Navier-Stokes equations on Riemanian manifold by mimizing variational functionals"Adv. Math. Sci. Appl.. 9. 51-71 (1999)