無限論理に関するモデル理論の研究とそのヴォート予想への応用

• 研究課題/領域番号: 11J00930
• 研究種目: 特別研究員奨励費
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 国内
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 竹内 耕太 筑波大学, 数理物質系, 特別研究員(PD)
• 研究期間 (年度): 2011 – 2013
• 研究課題ステータス: 完了 (2013年度)
• 配分額: 1,900千円 (直接経費: 1,900千円); 2013年度: 600千円 (直接経費: 600千円); 2012年度: 600千円 (直接経費: 600千円); 2011年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
• キーワード: n-dePendent property / Sauer-Shelahの定理 / グラフのモデル理論 / モデルコンパニオン / Ramsey class / n-dependent property / Sauer-Shelah Lemma / n-partite hypergraph / generalized indiscernible / タイプ排除定理 / 無限論理

研究概要

2013年度は大きく分けて二つの研究成果を得た。ひとつはn-dependent理論についての新しい特徴づけと組合せ論におけるSauer-Shealahの定理との対応関係を明確化したこと、もうひとつはモデルコンパニオンの存在・非存在を判定するいくつかの命題を特にグラフの理論について与えたことである。
n-dependent理論はモデル理論における安定性理論の一般化となっている理論であり、特に安定性理論で取り扱われるforking概念をn-dependent理論でも扱えるように理論を整備することが望まれている。本研究ではn-dependent理論の研究の基礎となる成果を得た。とくにn-dependent理論におけるタイプの数の大きさを、組合せ論的方法を用いて評価することに成功した。特に前年まではタイプの数を上から評価する不等式が得られていたが、その不等式が最良であること(等式が成立する場合の具体例が存在すること)を示すことができた。これでn-dependent理論におけるタイプの数とSauer-Shelahの定理の一般化におけるshutter関数の値が丁度対応していることが確認できた。
理論TのモデルコンパニオンSとは、ある種のgenericな理論を定式化した概念であり、体の公理Tに対し代数閉体の公理S、全順序の公理に対し稠密全順序の公理などが対応する。本研究ではグラフのクラスKに対しKを排除するグラフのクラスに対し、モデルコンパニオンが存在するかどうかについて研究を行った。
とくにKが2-edge連結なグラフのみからなるとき、Kが有限個の"ほとんど"completeなグラフのみからなるときの場合について、それぞれ必要条件と十分条件を与えた。これらは今まであまり光を当ててこられなかった、モデルコンパニオンが存在しない理論の分類に新しい結果を与える物となった。

今後の研究の推進方策

(抄録なし)

研究成果

• [雑誌論文] A characterization of n-dependent property (2014)
  • 著者名/発表者名: Kota Kakeuchi
  • 雑誌名: RIMS Kokyuroku 巻: (印刷中)(未定)
• [雑誌論文] On the existence of indiscernible trees (2012)
  • 著者名/発表者名: K. Takeuchi and A. Tsuboi
  • 雑誌名: Annals of Pure and Applied Logic 巻: 163 号: 12 ページ: 1891-1902
  • DOI: 10.1016/j.apal.2012.05.012
  • 査読あり
• [雑誌論文] Locally o-minimal structures (2012)
  • 著者名/発表者名: T.Kawakami, K.Takeuchi, H.Tanaka, A.Tsuboi
  • 雑誌名: Journal of The Mathematical Society of Japan 巻: (未定)
  • 査読あり
• [雑誌論文] A generalization of Shelah's omitting types theorem (2011)
  • 著者名/発表者名: Kota Takeuchi
  • 雑誌名: Tsukuba Journal of mathematics 巻: Vol.35, No.2 ページ: 203-213
  • 査読あり
• [学会発表] Several results on the n-dependent property (2013)
  • 著者名/発表者名: Kota Takeuchi
  • 学会等名: RIMS workshop : Model theoretic aspects of the notion of independence and dimension
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所、京都府京都市
  • 年月日: 2013-11-19
• [学会発表] A characterization of n-dependent property by counting types (2013)
  • 著者名/発表者名: Kota Takeuchi
  • 学会等名: The 13th Asian logic conference
  • 発表場所: Sun Yat-sen University, Guangzhou, China
  • 年月日: 2013-09-17
• [学会発表] n-dependent property and combinatorial properties (2013)
  • 著者名/発表者名: Kota Takeuchi
  • 学会等名: モデル理論夏の学校
  • 発表場所: 東海大学高輪キャンパス、東京都港区
  • 年月日: 2013-08-26
• [学会発表] Indiscernible objects in unstable theories. (2012)
  • 著者名/発表者名: Kota Takeuchi
  • 学会等名: CIME Summer School
  • 発表場所: Cetraro, Italy
  • 年月日: 2012-07-05
• [学会発表] An introduction to model theory (2012)
  • 著者名/発表者名: 竹内耕太
  • 学会等名: Studio Puones Seminar
  • 発表場所: 神戸大学(兵庫県)
  • 年月日: 2012-01-05
• [学会発表] On the existence of indiscernible trees (2011)
  • 著者名/発表者名: 竹内耕太
  • 学会等名: RIMS workshop"体のモデル理論とその応用"
  • 発表場所: 京都大学(京都府)
  • 年月日: 2011-11-30
• [学会発表] 範疇性の理論 (2011)
  • 著者名/発表者名: 竹内耕太
  • 学会等名: 数学基礎論サマースクール
  • 発表場所: 神戸大学(兵庫県)
  • 年月日: 2011-08-31