| 研究概要 |
24年度までに,次数が一般のヒルベルト・ジーゲル・アイゼンシュタイン級数についてその指標が2次指標でないときに,フーリエ係数を表示する公式を証明し,ヒルベルト・ジーゲル・アイゼンシュタイン級数からなるp進解析的な族の存在を証明した.投稿は24年度内にはしていないが,24年度に上の結果の論文を執筆した.上の結果は研究実施計画通りだが,24年度の終わり頃に行なった数値計算で研究実施計画にはないが興味深い例を見つけた.以下それについて書く.次数2,ウェイト35のX35と呼ばれるジーゲル保型形式が存在することが知られている.一般に2次のジーゲル保型形式は2次の半整数対称行列で添字付けされるようなフーリエ展開をもつ.近畿大学の長岡氏,菊田氏,見玉氏らは,Tを2次の半整数対称行列とするとき,X35のT番目のフーリエ係数はTの行列式が23で割り切れないならば,23で割り切れることを証明した.24年度に行なった数値計算では,他の素数に対して同様の性質をもつ,クリンゲン・アイゼンシュタイン級数や奇数ウェイトのカスプ形式をみつけた.しかも,これらは対になって表われることが分かった.例えば,ウェイト12のクリンゲン・アイゼンシュタイン級数でX35と同じ性質をもつものが存在する.また,ウェイト24のクリンゲン・アイゼンシュタイン級数と,ウェイト71のカスプ形式で,素数47についてX35と同様の性質をもつものが存在するだろうことが数値計算によって分かった.
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