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平均曲率一定曲面の研究

研究課題

研究課題/領域番号 12440012
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 幾何学
研究機関東北大学

研究代表者

剱持 勝衛  東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004404)

研究分担者 間下 克哉  東京農工大学, 工学部, 教授 (50157187)
長澤 壯之  埼玉大学, 理学部, 教授 (70202223)
西川 青季  東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004488)
田崎 博之  筑波大学, 数学系, 助教授 (30179684)
大仁田 義裕  東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90183764)
小谷 元子  東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50230024)
清水 悟  東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90178971)
砂田 利一  東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20022741)
研究期間 (年度) 2000 – 2003
研究課題ステータス 完了 (2003年度)
配分額 *注記
15,300千円 (直接経費: 15,300千円)
2003年度: 2,700千円 (直接経費: 2,700千円)
2002年度: 3,800千円 (直接経費: 3,800千円)
2001年度: 3,800千円 (直接経費: 3,800千円)
2000年度: 5,000千円 (直接経費: 5,000千円)
キーワード極小曲面 / 平均曲率一定曲面 / 平均曲率ベクトル場 / 複素空間形 / 周期的回転面 / デローネー回転面 / ベジエ曲線 / 調和写像 / 平均曲率一定 / C-多様体 / エネルギー最小写像 / 周期的平均曲率 / 周期的回転超曲面 / ウィルモア汎関数 / 多重Kaehler角度 / Poincareの公式 / 極小ラグランジアン部分多様体 / 積分幾何学 / グラスマン幾何学 / 全測地的部分多様体 / 対称空間 / 格子モデル / グラフ
研究概要

1.複素空間形内の極少曲面でガウス曲率一定な場合の研究に関して、余次元が2の場合に完全な結果を得て公表した。この研究で、2次元複素空間形内におけるガウス曲率が一定の極小曲面のケーラー角は一定でなければならないことを証明したことが本質的であった。この証明のためには、8組の異なる連立偏微分方程式がどれも自明解のみであることを示す必要があったが、我々はこれらの偏微分方程式系に共通な性質を見出し統一的な証明を与えた。この分類によって、局所的にも2次元複素射影平面には、負の定ガウス曲率をもつ最小曲面が存在しないことが証明される。
2.平均曲率が一定という条件がそのような曲面についての種々な結果にどのような影響を与えているかという問題意識から、平均曲率が周期的関数であるような回転面を研究し、次が解明された。
(1)3次元ユークリッド空間内の一般の回転面に対し、それが周期的となる必要十分条件を平均曲率関数だけの条件でもとめた。その条件は1変数関数である平均曲率関数に関する積分方程式として表される。逆に、その積分方程式を満たす周期的関数を一つ取ると、それを平均曲率に持つような周期的回転面を構成できる。
(2)その積分方程式を幾何学的考察によって、完全に解くことができた。その応用として、ある種のベジエ曲線族から周期的回転面を構成できる。
(3)3次元ユークリッド空間内の平均曲率一定の曲面に関して、これまでに得られた成果を系統的にまとめ出版した。このような内容の書物としては世界初の出版である。同書は幸いにも多くの人々の関心を引き、平成15年にはアメリカ数学会より英訳出版された。

報告書

(5件)
  • 2003 実績報告書   研究成果報告書概要
  • 2002 実績報告書
  • 2001 実績報告書
  • 2000 実績報告書
  • 研究成果

    (36件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (36件)

  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "The classification of the surfaces with parallel mean curvature-vector in two-dimensional complex space forms"Amer.Jour.Math.. 122・2. 295-317 (2000)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "On minimal surfaces of constant curvature in two-dimensional complex space form"J.reine angew.Math.. 523・1. 69-101 (2000)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "Periodic mean curvature and Bezier curve"Differential Geometry and Related Topics(論文集). 135-146 (2002)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "Surfaces of revolution with periodic mean curvature"Osaka Jour.Math.. 40・3. 687-696 (2003)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "Energy minimizer maps on C-manifolds"Diff.Geom.Appl.. (印刷中). (2004)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Seiki Nishikawa: "Harmonic maps in complex Finsler geometry"Geometric Variational Problems, Scans and Geometric Flows, Birkhauser(論文集). (印刷中). (2004)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "Surfaces with constant mean curvature, Translations of Math.Monographs."Amer.Math.Soc.. 142 (2003)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "The classification of the surfaces with parallel mean curvature vector in two-dimensional complex apace forms"Amer.Jour.Math.. 122. 295-317 (2000)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "On minimal surfaces of constant curvature in two-dimensional complex space form"J. reine angew.Math.. 523. 69-101 (2000)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Periodic mean curvature and Bezier curve"Differential Geometry and Related Topics(C.Gu, H.Hesheng and T.Li(eds)))(World Scientific). 135-146 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Surfaces of revolution with periodic mean curvature"Osaka Jour.Math.. 40. 687-696 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Energy minimizer maps on C-manifolds"Diff.Geom.Appl.. (in press). (2004)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] S.Nishikawa: "Harmonic maps in complex Finsler geometry, Geometric Variational Problems"Scans and Geometric Flows, Birkhauser. (in press). (2004)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Surfaces with constant mean curvature(Translations of Math. Monographs)(Vol.221)"American Mathematical society. 142 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Surfaces of revolution with periodic mean curvature"Osaka Jour.Math. 40. 687-696 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Energy minimizer maps on C-manifolds"Diff.Geom.and Appl.. (掲載予定). (2004)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] M.Kotani: "Lipschitz continuity of the spectra of the magnetic transition"J.Geom.Phys. 47. 323-342 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] Y.Ohnita: "Hamiltonian stability of certain minimal Lagrangian submanifolds"Tohoku Math.J.. 55. 583-610 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] 間下 克哉: "Chenの方程式をみたす6次元球面内の3次元CR部分多様体"数理解析研究所講究録. 1346. 91-98 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] H.Tasaki: "Generalization of Kaehler angles and integral geometry II"Math.Nachr.. 252. 106-112 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] K.Kenmotu: "Surfaces with constant mean curvature"American Math. Society. 142 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Surfaces of revolution with periodic mean curvature"Osaka Journ. Math.. (未定). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] 剱持 勝衛: "周期的回転面の構成について"部分多様体論湯沢2002記録集. (未定). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] S.Nishikawa: "Harmonic maps between Carnot spaces"Proceeding of the International Conference on Modern Mathematics and the International Symposium on Differential Geometry. (未定). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] T.Nagawawa: "Bifurcating critical points of bending energy with constraints related to the shane of red blood cell"Cal. Var. Partial Differential Equations. 16(1). 63-111 (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] H.Tasaki: "Generalization of Kaehler angle and integral geometry in complex proiective spaces II"Math. Nachr. (未定). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] 剱持 勝衛: "E. Cartan in the Bonnet Problem"数理解析研究所講究録. 1206. 45-54 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] K.Kenmotsu: "Periodic mean curvature and Bezier curve"Proceedings of the Conference and the Symposium on Differentaial Geometry in honor of Prof. Su on the occasion of his 100^<th> birthday. (未定). (2002)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "The classification of the surfaces with parallel mean curvature vector in two-dimensional complex space forms"American Journal of Mathematics. 122・2. 295-317 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書
  • [文献書誌] Katsuei Kenmotsu: "On minimal surfaces of constant curvature in two-dimensional complex space form"J.reine angew,Math.. 523・1. 69-101 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書
  • [文献書誌] Motoko Kotani: "Jacobian tori associated with a finite graph and its abelian covering graphs"Advances in Appl.Math.. 24・1. 89-110 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書
  • [文献書誌] Takeyuki Nagasawa: "Closed surfaces minimizing the bending energy"International Conference on Diff.Eq.Berlin 1999. 1. 561-563 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書
  • [文献書誌] Satoui Shimizu: "A classification of two-dimensional tube domains"American Journal of Mathematics. 122・6. 1289-1308 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書
  • [文献書誌] O.Ikawa: "Totally geodesic submanifolds of maximal rank in sym.Spaces"Japanese J.Math.. 26・1. 1-19 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書
  • [文献書誌] 剱持勝衛: "曲面論講義"培風館. 150 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書
  • [文献書誌] 砂田利一: "分割の幾何学"日本評論社. 140 (2000)

    • 関連する報告書
      2000 実績報告書

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公開日: 2000-04-01   更新日: 2016-04-21  

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