| 研究課題/領域番号 |
12640019
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 富山大学 |
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研究代表者 |
浅沼 照雄 富山大学, 教育学部, 教授 (50115127)
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| 研究期間 (年度) |
2000 – 2001
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| 研究課題ステータス |
完了 (2001年度)
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| 配分額 *注記 |
3,000千円 (直接経費: 3,000千円)
2001年度: 1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
2000年度: 1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
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| キーワード | 代数曲線 / 多項式環 / k-形式 / 基礎体 / 可換代数学 / 基礎体の下降問題 / アサイン曲線のファイフレイション / アファイン代数曲線 |
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| 研究概要 |
基礎体kをその代数的閉包Kまで拡大したときK上の1変数多項式環多になるk-代数をアファイン直線のk-形式という。本研究課題の主な目的はアファイン直線のk-形式のk-代数としての構造を調べること、すなわちアファイン曲線の基礎体の下降問題、である。まず本研究計画が始まる以前には、明らかでない(すなわちアファイン直線と同型でない)アファイン直線のk-形式の幾つかの例が散発的に知られているだけであった。
本研究代表者は20年にわたりこの問題に取り組んできた。その集大成としてこの2年問の科研費研究期間中に次の最終的な結果を得た。
まず、アファイン直線の自明でないk-形式の例の新しい構成法を見つけ、任意のアファイン直線のk-形式はこれらの例とk-同型になることを証明した。このことから任意のアファイン直線のk-形式はk上3変数多項式環の高さ2の具体的に記述する事が可能な3つの元で生成された素イデアルの乗余環として与えられるという内容の、アファイン直線のk-形式の構造定理を得た。この系として、それらのk-形式が平面代数曲線になるための必要十分条件はこの素イデアル完全交叉であることを示した。これらの結果の証明には本研究代表者が構築してきた純非分離拡大環についてのジャコブソン型のガロア理論が有効に用いられる。さらにこれらの定理等を用いて具体的にアファイン直線のk-形式の自己同型群となる群をすべて求めることに成功している。上記の研究中に得られた成果の概要は富山大学教育学部紀要第56号0n $A^1$-forms pp.43-51(平成14年2月)に記載されている。
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