| 研究概要 |
(1)rigid geometryの枠組の中でのKummer-Artin-Schreier-Witt理論の展開,(2)形式群の理論と関連したKummer-Artin-Schreier-Witt理論の具体的な記述,(3)Kummer-Artin-Schreier-Witt理論とHasseのp^n-primary elementの理論との関係
が研究目標であったが,(2)について目覚ましい結果を得た.
Z[M]代数Aに対して,古典的なWitt vectorの構成を敷衍して,加法群W(A)の変形W^<(M)>(A)を定義した.W^<(M)>(A)はW(A)加群の構造を持ち,対応(a_0,a_1,a_2,...)→(Ma_0,Ma_1,Ma_2,...)はW^<(M)>(A)からW(A)へのW(A)準同型となる.さらに,古典的なWitt vectorの理論と同様にW^<(M)>(A)の上にFrobenius写像F^<(M)>とVerschiebung写像Vが定義され,古典的な場合と同様の性質が成立する.さて,Kummer-Artin-Schreier-Witt理論ではG^<(M)>_Aで記される代数群が重要な役割を持ったが,G^<(M)>_Aのzero sectionに沿うformal completion G^^^^<(M)>_Aはformal group law f(X,Y)=X+Y+MXYを持つ形式群Spf A[[T]]に他ならない.W^<(M)>(A)がG^^^^<(M)>_Aのp-typical curveのなすCartier加群C(G^^^^<(M)>_A)に同型であることが第1の主結果である.また,W^<(M)>(A)のD_A加群としてのfree resolutionの記述が第2の主結果である.さらに,EをG^^^^<(Λ)>_AのG^^^^<(M)>_Aによる拡大とすれば,Cartier加群C(E^^^)はW^<(Λ)>(A)のW^<(M)>(A)による拡大であるが,形式巾級数
【numerical formula】
を導入することによってC(E^^^)=Hom_<A-gr>(W^^^_A,E)の具体的な記述を得た.
2次元の場合の詳細を「A note on extensions of algebraic and formal groups, V」としてまとめ,いずれ学術誌に掲載の予定である.
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