ヤコビー形式およびジーゲル保型形成と関連するゼータ関数の数論的研究

• 研究課題/領域番号: 12640045
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 立教大学
• 研究代表者: 荒川 恒男 立教大学, 理学部, 教授 (60097219)
• 研究分担者: 遠藤 幹彦 立教大学, 理学部, 教授 (40062616) ; 青木 昇 立教大学, 理学部, 助教授 (30183130) ; 佐藤 文広 立教大学, 理学部, 教授 (20120884)
• 研究期間 (年度): 2000 – 2002
• 研究課題ステータス: 完了 (2002年度)
• 配分額: 2,600千円 (直接経費: 2,600千円); 2002年度: 500千円 (直接経費: 500千円); 2001年度: 900千円 (直接経費: 900千円); 2000年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
• キーワード: 保型形式 / Jacobi形式 / Selberg zeta関数 / Maass波形式 / 素測地線定理 / 多重L値 / 概均質ベクトル空間 / b-関数 / Selberg跡公式 / Fermat曲線 / Hodge予想 / Maass wave forms / Selberg zeta 関数 / Shimura 対応 / 多重L-値 / double shuffle relation / zeta regularization / converse theorem / 概均質ゼータ関数 / セルバーグゼータ関数 / モジュラー群 / 不定符号4元数環 / Weierstrass部分空間 / 弱球等質空間 / Gamma行列

研究概要

以下項目別に記述する.
1.Siegel保型形式に関連して:2次のSiegel保型形式とKoecher-Maass zeta
関数とのHecke対応に関するImaiの逆定理を使い易く定式化し,尖点形式でない場合にまで一般化した.それを用いてSaito-Kurokawa liftingをDuke-Imamogleの方法で再構成した(分担者佐藤と牧野潔夫氏(工学院大)との共同研究).
2.橋本予想の解決:Q上の定符号四元数環に付随したtheta級数に関する,早稲田大学の橋喜一朗氏によって提出された予想を,Jacobi形式,重さ1の保型形式に関するDeligne-Serreの定理などを用いて解決した(S.Boechererとの共同研究).
3.Selberg zeta関数の研究:Shimura対応のMaass波形式版であるKatok-Sarnakの仕事をSelberg跡公式とSelberg zeta関数を通してより深い形に見なおした.その応用として,群GL(2,Z).に関する素測地線定理を得た.またSL(2,R)のcocompactな算術的離散部分群に対してそのSelberg zeta関数を明示的に表示し,Brun-Titchmarsh型の素測地線定理を得た(小山信也氏,中筋麻紀氏(慶応大)との共同研究).
4.多重L値に関して:index mの多重L値のdouble shuffle relationとその正規化を研究した.また応用として多重L関数を考察し,s=0で極をもつ場合に,主要部を正規化を利用して完全に記述した(金子昌信氏(九州大)との共同研究).
5.概均質ベクトル空間の研究:分担者佐藤は,概均質ベクトル空間のb-関数が(多項式環上の表現についてある種の重複度1性の成立のしたで)表現の分解に対応する分解をもつことを示した.この結果により,いくつかの概均質ベクトル空間についてはb-関数の計算が著しく簡易化された(杉山和成氏(筑波大)との共同研究)

研究成果

• [文献書誌] T.Arakawa, S.Boecherer: "Vanishing of certain spaces of elliptic modular forms and some applications"J.Reine Angew.Math. (発表予定).
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] T.Arakawa, S.Koyama, M.Nakasuji: "Arithmetic forms of Selberg zeta functions with applications to prime geodesic theorem"Proc.Japan Acad.. 78,SerA,.7. 120-125 (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] T.Arakawa, I.Maino, F.Sato: "Converse the for not necessarily cuspidal Siegel modular forms of degree two and Saito-Kurokawa lifting"Comment.Math.Univ.St.Pauli. 50. 197-234 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] F.Sato: "p-adic Green functions and zeta function"Comment.Math.Univ.St.Pauli. 51. 79-97 (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] F.Sato, Y.Hironaka: "Local densities of representations of quadratic forms over p-adic integers ; the non-dyadic case"J.of Number Thery. 83. 106-136 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] N.Aoki: "Hodge cycles on CM abelian varieties of Fermat type"Comment.Math.Univ.St.Pauli. 51. 99-129 (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 荒川恒男, 伊吹山知義, 金子昌信: "ベルヌーイ数とゼータ関数"牧野書店. 243 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] T.Arakawa and S.Boecherer: "Vanishing of certain spaces of elliptic modular forms and some applications"J. Reine Angew. Math. to appear.
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] T.Arakawa, S.Koyama and M.Nakasuji: "Arithmetic forms of Selberg zeta functions with applications to prime geodesic theorem"Proc. Japan Acad.. 78, Ser.A, No.7. 120-125 (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] T.Arakawa, I.Makino and F.Sato: "Converse theorem for not necessarily cuspidal Siegel modular forms of degree 2 and Saito-Kurokawa lifting"Comment.Math. Univ. St. Pauli. 50. 197-234 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] F.Sato: "p-adic Green functions and zeta functions"Comment.Math. Univ. St. Pauli. 51. 79-97 (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] F.Sato and Y.Hironaka: "Local densities of representations of quadratic forms over p-adic integers ; the non-dyadic case"J of Number Theory. 83. 106-136 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] N.Aoki: "Hodge cycles ofn CM abelian varieties of Fermat type"Comment.Math. Univ. St. Pauli. 51. 99-129 (2002)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] T.Arakawa, T.Ibukiyama and M.Kaneko: "Bernoulli numbers and zeta functions"Makino shoten. (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] T.Arakawa, S.Boecherer: "Vanishing of certain spaces of elliptic modular forms and some applications,"J. Reine Angew. Math.. (発表予定).
• [文献書誌] T.Arakawa, S.Koyama, M.Nakasuji: "Arithmetic forms of Selberg zeta functions with applications to prime geodesic theorem"Proc. Japan Acad.. 78,SerA,.7. 120-125 (2002)
• [文献書誌] F.Sato: "p-adic Green functions and zeta function"Comment. Math. Univ. St. Pauli. 51. 79-97 (2002)
• [文献書誌] N.Aoki: "On the Tate-Shafarevich groups of semistable elliptic curves with a ratinal S-torsion"Acta Arithmetica. (発表予定).
• [文献書誌] N.Aoki: "Hodge cycles on CM abelian varieties of Fermat type"Comment. Math. Univ. St. Pauli. 51. 99-129 (2002)
• [文献書誌] T.Arakawa, I.Makino, F.Sato: "Converse theorm for not necessarily cuspidal Siegel modular forms of degree 2 and Saito-Kurokawa lifting"Comment. Math. Univ. St. Pauli. 50. 197-234 (2001)
• [文献書誌] T.Arakawa: "SL(2, R)のSelberg跡公式と低ウェイト保型形式空間の次元などについて"京都大学数理解析研究所講究録. 1219. 51-61 (2001)
• [文献書誌] T.Arakawa: "Selberg zeta functions and the Shimura correspondence for Maass wave forms"Proc of Japanese-German seminar on explicit structures of modular forms and zeta functions. (2002)
• [文献書誌] F.Sato: "Functional equations of prehomogeneous zeta functions and intertwining operators"Proc of Japanese-German seminar on explicit structures of modular forms and zeta functions. (2002)
• [文献書誌] 荒川 恒男, 伊吹山 知義, 金子 昌信: "ベルヌーイ数とゼータ関数"牧野書店. 243 (2001)
• [文献書誌] T.Arakawa: "Saito-Kurokawa liftings for odd weights"Comment.Math.Univ.St.Pauli. 49. 159-176 (2000)
• [文献書誌] F.Sato and Y.Hironaka: "Local densities of representations of quadratic forms over p-adic integers : the non-dvadic case"J.of Number Theory. 83. 106-136 (2000)