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約数の分布の研究は、主に解析的数論その中でも確率的数論とよばれる比較的新しい分野で発展してきた。しかし、約数の和の構造についての研究は、nの階乗までの整数はnの対数個の定数倍の異なる約数で表せるというエルデス推測に縛られ、なかなか発展してこなかった。しかし、本研究で、フランスのナンシー大学のテネンバウム、カリフォルニア大学バークレイ校のクルート等との共同研究により、ガウス和理論と組み合わせ数論を用いることにより、かなりの部分まで解明することができた。
本研究者は、次のことを示した。
約数の和の研究は、その逆数をとると単位分数の和の研究になる。そこで、N(n)を1からnまでの整数の逆数の和を用いて表せる整数の集合、N^*(n)を、ある整数の約数の逆数を用いて表せる整数の集合、M(n)をN(n)内での最大整数とすると
M(n)【less than or equal】logn+γ-((12-π^2)/6+ο(1))((logn)^2)/(logn) #N^*(n)【greater than or equal】logn+γ-((π^2)/3+ο(1))((logn)^2)/(logn)
これより、
#N(n)=logn+π+ο(1)
となる。
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