| 研究課題/領域番号 |
12640069
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 大阪教育大学 |
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研究代表者 |
菅原 邦雄 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (20093255)
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| 研究分担者 |
町頭 義朗 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (00253584)
小山 晃 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (40116158)
片山 良一 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (10093395)
伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 教授 (20193493)
印南 信宏 新潟大学, 理学部, 教授 (20160145)
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| 研究期間 (年度) |
2000 – 2002
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| 研究課題ステータス |
完了 (2002年度)
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| 配分額 *注記 |
3,100千円 (直接経費: 3,100千円)
2002年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2001年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2000年度: 1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
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| キーワード | Riemann多様体 / Liouville多様体 / 理想境界 / Alexandrov空間 / Busemann関数 |
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| 研究概要 |
Riemann多様体にはいくつかの無限遠の定義が試みられている。中でもGromovによる理想境界は距離構造にのみ依存した汎用性を持った無限遠の定義として高く評価されている。その唯一の問題点は、連続関数からなる空間を介した定義のため、幾何学的な意味付けが明確でないことにある。そのため、無限遠の形状が具体的に解明されているのはごく限られた場合でしかなかった。
本研究においては、理想境界の幾何学的な意味付けを得るために、3次元以上の具体的な空間の理想境界の形状を分析することを課題としていたが、次の内容を解明することができた。
1 Euclid空間の中の2次曲面はLiouville多様体としての定式化が知られている。それを利用して、n+1次元Euclid空間の中のn次元楕円放物面の測地線の定義方程式を具体的に計算した結果,高次元でも測地線は同一の挙動を示すことが分かり,無限遠に発散する点列の到達する先は、(Liouville多様体としての二つの)特異集合からの距離の差の極限が規定している。すなわち理想境界は閉区間で、その両端はBusemann関数であることが示された。
2 双曲空間中の2次曲面についても同様な手法が有効であることがわかった。特に二葉双曲面は、無限遠での膨張に関する前田の定数が有限で、測地線の方程式は、Euclid空間の中の楕円放物面と類似の表現をもつことが示された。また、低次元では測地線の挙動や無限遠の構造に関してもに類似性が確認された。すなわち、理想境界は閉区間で、その両端はBusemann関数であることが示さた。
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