| 研究概要 |
本研究では,Ritz有限要素法の誤差解析について,いくつかの研究を行い,以下のような成果を得た.
まず,単位円から2次元のEuclid空間内のJordan領域への等角写像の有限要素近似について解析を行った.適当な有限要素空間とその中のadmissibleな写像の集合上で,ある汎関数(Dirichlet積分である)を極小にするものを有限要素等角写像と定義した.従来注意されていなかった,領域内の1点の対応が指定された場合(「1点条件」と呼ばれる)について,適当な条件(写像の単調性)を仮定すれば,有限要素等角写像の境界上での同程度連続性を示せることを証明し,それを使って有限要素等角写像が真の等角写像へ収束することを示した.多くの数値例を与え,有限要素等角写像の有用性を示した.特に,境界に角がある場合にも,計画数学の分野で「smoothing method」と呼ばれる手法を導入すれば,角をうまく丸めて計算出来ることを示した.
次に,曲面の至るところで平均曲率が与えられた定数となるような曲面(しばしば「H-surface」と呼ばれる)の有限要素近似を考察し,その収束について議論した.極小曲面は,平均曲率が至るところ0となる曲面であるが,研究代表者(土屋)によりその有限要素近似が研究されてきた.今回,その研究を発展させることにより,H-surfaceも同様な手法で計算できることを示した.この場合,3次元のEuclid空間内に与えられたJordan曲線内に張るH-surfaceは,少なくとも2つあることがわかっているが,今回はそのうちの小さい方の解(small solutionと呼ばれる)の有限要素近似を定義し,それの真の解への収束を示した.また,多くの数値例を与えた.
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