| 研究概要 |
複素解析的誘導表現はリー環の線形形式fとその複素polarizationから表現を構成する方法であるが,本研究ではpolarizationに通常要請される条件を緩めて,weak polarization,あるいは一般の複素部分リー環hから誘導表現を構成し,既約分解を求める問題を扱った.まず,正規j代数に対応する連結単連結リー群を対象とし,fを開余随伴軌道に属する線形形式,hをfにおける正値の複素weak polarizationとすると,この複素解析的誘導表現は,modular関数に関わる補正項δを適切に選べば常に零でない表現となり,その既約分解は,余随伴軌道の情報を用いて記述できる.この研究は以前から引き続き行っているものであるが,本研究期間において,正規j代数の構造を用いた補正項δの導出方法と,既約分解を与えるintertwining作用素の構成方法の再検討および整理を行い,論文を改訂,発表した.
次に,一般の指数型可解リー群を対象とし,weak polarization,あるいはfにおいて等方的ではあるが極大等方的ではない一般の複素部分リー環からの誘導表現については,今回も主に低次元のリー群における具体的な例を調べた.幾つかの例で,実際に零でない表現が得られ,既約分解も求められたが,計算のために必要な相対不変ベクトルの記述が個々のリー環の代数的な構造に依存しているため,複雑なものとなった.一般的な,見通しの良い記述方法を見つけることは今後の課題である.
本研究でのもう1つの問題は,指数型リー群の既約表現の空間において,群のフーリエ変換と協調して「良い」性質を持つ作用素および可微分ペクトルの空間の「良い」部分空間を特徴づけることである.これについては,Ludwigの定義した「滑らかな作用素」の記述を通して新しい特徴づけをみいだすことを試みており,今後もこの方向で研究を進める予定である.
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