エルゴード理論とPerron-Frobenius作用素に関する研究

• 研究課題/領域番号: 12640190
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 基礎解析学
• 研究機関: 日本大学
• 研究代表者: 森 真 日本大学, 文理学部, 教授 (60092532)
• 研究分担者: 福田 拓生 日本大学, 文理学部, 教授 (00009599) ; 渡辺 敬一 日本大学, 文理学部, 教授 (10087083) ; 黒田 耕嗣 日本大学, 文理学部, 教授 (50153416) ; 山浦 義彦 日本大学, 文理学部, 助教授 (90255597) ; 鈴木 理 日本大学, 文理学部, 教授 (10096844)
• 研究期間 (年度): 2000 – 2001
• 研究課題ステータス: 完了 (2001年度)
• 配分額: 2,600千円 (直接経費: 2,600千円); 2001年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円); 2000年度: 1,500千円 (直接経費: 1,500千円)
• キーワード: エルゴード理論 / ペロン-フロベニウス作用素 / フラクタル / 乱数 / ブラウン運動 / スペクトル / Perron-Frobenius作用素 / エルゴード性 / 混合性

研究概要

2進法を用いて得られるvan der Corput列の概念を拡張することで,1次元の変換の逆像を用いることで疑似乱数列を生成する.この疑似乱数列の性質は変換から得られる力学系のエルゴード的性質と深いつながりがある。これが一様分布列であることは力学系が混合的であることと同値であることが力学系の不変確率測度の研究によって示すことができる.さらに力学系に対応するPerron-Frobenius作用素の固有値を研究することで,この列のdiscrepancyを評価することができた.このことにより,数値積分への応用の道が開かれた.この結果をさらに改良して,2次元のlow discrepancy列を記号力学系を用いて構成することに成功した,2000年9月にSaltzburgで開かれたIMACSのシンポジウムで講演を行った.
1次元の力学系から得られるCantor集合のHausdorff次元をα-Fredholm行列によって求める方法を与え,さらにその上の力学系のエルゴード的性質を研究し,その次元を求める方法を与えることができた.また,パラメータをもつCantor集合の次元の計算を行い,その相転移現象についての研究を行った.この論文は投稿中である.
力学系の高次の混合性の収束のオーダーを研究することから始め,力学系から定まるrandom walkがBrown運動へと収束する速さについての研究を行った.これについてはやはり2000年9月にSaltzburgで開かれたIMACSのシンポジウムで報告を行った.論文はInst.Natural Science, Nihon Universityに受理されている.

研究成果

• [文献書誌] Makoto Mori: "Cantor sets generated by Piecewise linear map"The Inst.of Natural Sciences Nihon Univ.. 35. 1-27 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Higher order mixing property of piecewise linear transformations"Discrete and Continuous Dynamical systems. 6. 915-934 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Yoshihiko Yamaura: "A uniform gradient bound of minimizers of regularized functionals"Int.J.Differ.Equ.Appl.. 1A. 447-457 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Osamu Suzuki: "The Riemann-Hilbert problems for higher dimensional homology groups on a real manifold"the proceeding of the International Conference on Boundary Value Problems. (to appear). (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Pseudo random sequences generated by piecewise linear maps from the view point of dynamical system"Mathematics and Computers in Simulation. 55. 177-189 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Dynamical systems on fractals in a plane"Osaka J.Math.. 38. 1-28 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] 小川 重義, 森 真: "現象から学ぶ確率論"講談社. 166 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Cantor sets generated by Piecewise linear map"The Inst. of Natural Sciences Nihon Univ.. Vol. 35. 1-27 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Higher order mixing property of piecewise linear transformations"Discrete and Continuous Dynamical systems. Vol. 6, No. 4. 915-934 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Yoshihiko Yamaura: "A uniform gradient bound of minimizers of regularized functionals"Int. J. Differ. Equ. Appl. 1A (2000). No. 4. 447-457 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Qsamu Suzuki: "The Riemann-Hilbert problems for higher dimensional homology groups on a real manifold"International Conference on Boundary Value Problems, Integral equations and related Topics, Beijing and chende, China1999, World Scientific Com.. 23-32 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Pseudo random sequences generated by piecewise linear maps from the view point of dynamical system"Mathematics and Computers in Simulation. Vol. 55. 177-189 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Dynamical systems on fractals in a plane"Osaka. J. Math.. Vol. 38. 1-28 (2001)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Makoto Mori: "Cantor sets generated by Piecewise linear map"The Inst.of Natural Sciences Nihon Univ.. 35. 1-27 (2001)
• [文献書誌] Makoto Mori: "Higher order mixing property of piecewise linear transformations"Discrete and Continuous Dynamical systems. 6. 915-934 (2000)
• [文献書誌] Yoshihiko Yamaura: "A uniform gradient bound of minimizers of regularized functionals"Int.J.Differ.Equ.Appl.. 1A. 447-457 (2000)
• [文献書誌] Osamu Suzuki: "The Riemann-Hilbert problems for higher dimensional homology groups on a real manifold"the Proceeding of the International Conference on Boundary Value Problems. (to appear). (2000)
• [文献書誌] Makoto Mori: "Pseudo random sequences generated by piecewise linear maps from the view point of dynamical system"Mathematics and Computers in Simulation. 55. 177-179 (2001)
• [文献書誌] Makoto Mori: "Dynamical systems on fractals in a plane"Osaka J.Math.. 38. 1-28 (2001)
• [文献書誌] 小川 重義, 森 真: "現象から学ぶ確率論"講談社. 166 (2001)
• [文献書誌] Makoto Mori: "Cantor sets generated by Piecewise linear map"The Inst.of Natural Sciences, Nihon Univ.. 35. 1-27 (2000)
• [文献書誌] Makoto Mori: "Higher Order mixing property of piecewise linear transformation"Discrete and Continous Dynamical systems. 6. 915-934 (2000)
• [文献書誌] K.Watanabe,N.Hara: "F-regular and F-pure Rings vs Log-terminal and Log-canonical singularities"J.Alg.Geom. (to appear).
• [文献書誌] K.Watanabe,K.Yoshida: "Hilbert-Kunz multiplicity of two dimensional local rings"Nagoya.Math.J.. (to appear).
• [文献書誌] K.Watanabe,S.Goto,S.Iai: "Good ideals in Gorenstein local rings"Trans.A,M,S,. (to appear).
• [文献書誌] O.Suzuki: "The Riemann-Hilbert problems for higher dimensional homology group on a real manifold"Proceedings of the international conference on Boundary Value problems, Integral Equations and related topics. (to appear).