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交叉理論の視点による代数多様体の特異点の研究

研究課題

研究課題/領域番号 12740016
研究種目

奨励研究(A)

配分区分補助金
研究分野 代数学
研究機関広島大学

研究代表者

木村 俊一  広島大学, 大学院・理学研究科, 講師 (10284150)

研究期間 (年度) 2000 – 2001
研究課題ステータス 完了 (2001年度)
配分額 *注記
2,400千円 (直接経費: 2,400千円)
2001年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
2000年度: 1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
キーワード交叉理論 / 代数多様体 / 特異点 / 非可換代数幾何 / 計算機代数 / グレブナー基底 / 数学史 / 正規化アルゴリズム / グイブナー基底 / 準素分解 / 数概念の革命 / 17世紀イギリス数学
研究概要

非可換代数幾何の計算を行うためのプログラムを開発した。有限表示を持つ加群のグレブナー基底を計算し、さらにresolutionを求めることができるようになっている。
Macaulay2やSingularの試作バージョンなど、これまでも非可換のグレブナー基底を計算できるプログラムはあったが、Macaulay2では非可換環としてワイル代数に限られるなど、扱える非可換環の種類が極めて限られていた。本研究において開発したプログラムでは、変数を順序づけしておいて、重複を許してその順番の変数の積としてあらわされる単項式が基底になる、という極めて弱い条件のもとでグレブナー基底を計算できる、という特長を持っている。一般の非可換環ではグレブナー基底が存在しないことが証明されており、本プログラムの条件はほぼ限界に近い良いものであると思われる。当初は拡張性を考えてMathematicaでプログラムを作成したが、速度に不満があったため、C++で組み直した。
本プログラムを作成した目的は非可換環RのSpectrumを定義する、という問題を解決するためである。、R/Iで既約加群になるもの全体が点集合となる、という予想を立て、いくつか計算を行い、イデアルIとJが既約元による単項生成であるにもかかわらず、その交わりが単項生成にならない、というような興味深い例も発見された。今後さらに具体的な計算によって非可換代数幾何特有の現象を見いだしていく基礎が出来たと思う。
並行して数学史にも興味を持ち、ファン・ルーメンの間題における誤りや、ガロアの死の真相についても新しい知見を得た。この成果については、講談社選書メチエ「天才数学者はこう解いた、こう生きた 方程式四千年の歴史」において発表した。

報告書

(2件)
  • 2001 実績報告書
  • 2000 実績報告書
  • 研究成果

    (1件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (1件)

  • [文献書誌] 木村 俊一: "天才数学者はこう解いた、こう生きた"講談社. 1-236 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書

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公開日: 2000-04-01   更新日: 2016-04-21  

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