相転移の確率過程の立場からの研究

• 研究課題/領域番号: 12740063
• 研究種目: 奨励研究(A)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 吉田 伸生 京都大学, 大学院・理学研究科, 講師 (40240303)
• 研究期間 (年度): 2000 – 2001
• 研究課題ステータス: 完了 (2001年度)
• 配分額: 2,200千円 (直接経費: 2,200千円); 2001年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円); 2000年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
• キーワード: spectral gap / Glauber dynamics / random walk / wetting transition / Ising model

研究概要

非有界なスピンを持つ格子模型(例えばφ^4-格子場)について以下のような結果を得た;
・高温での対数Sobolev不等式の成立
・次の3条件の同値性:(1)スピン相関の指数減衰,(2)Glauber dynamicsに関するspactral gapの存在,(3)Glauber dynamicsに関する対数Sobolev不等式の成立,(4)Glauber dynamicsに関するある種の一様性を持った各点収束。
少し別の方向の研究として以下のようなものに取り組んだ。液体を固体表面においたとき、それぞれの物性に応じて濡れ方が異なる。この「濡れ転移」と呼ばれる物理現象の数学的理解を目指した。1次元ランダムウォークを0以上の値をとるように条件付け、更に0との間に吸引的相互作用を導入する。このとき、相互作用が転移点以下(非局在相:「完全濡れ」の状態)と転移点より大きいとき(局在相:「部分濡れ」の状態)それぞれでランダムウォークの軌跡の巨視的状況を記述する極限定理を導出した。極限として得られた確率過程は固体表面の水滴の形に対応する。

研究成果

• [文献書誌] 吉田伸生: "Application of log-Sobolev inequality to the stochastic dynamics of unbounded spin systems on the lattice"J. Funct. Anal.. 173. 74-102 (2000)
• [文献書誌] 吉田伸生: "The equivalence of the log-Sobolev inequality and a mixing conditions for unbounded spin systems on the lattice"Ann. Inst. Henri Poincare. Probabilites et Statistiques. 37. 223-243 (2001)
• [文献書誌] K.Alexander: "The spectral gap of the 2-D stochastic Ising model with mixed boundary conditions"J. Stat. Phys.. 104. 89-109 (2001)
• [文献書誌] 磯崎泰樹: "Weakly pinned random walk on the wall : pathwise descriptions of the phase transition"Stoch. Proc. Appl.. 96. 261-284 (2001)
• [文献書誌] Nobuo Yoshida: "The equivalence of the log-Sobolev inequality and a mixing condition for unbounded spin systems on the lattice"Annals of Institute Henri Poincore Probabilites et Statistiqoes. 00,0. 1-21 (2001)
• [文献書誌] Kenneth Alexander: "The spectral gap of the 2-D stochastic Ising model with mixed boundary conditions"Journal of Statistical Physics. 104. (2001)