| 研究概要 |
ある種の特異な無限次元表現は,Gauss-青本-Gelfandの超幾何微分方程式をさらに高階に一般化した微分方程式の解空間として実現することができる。前年度までの研究により,積分変換の一種であるペンローズ変換によって高階に拡張された超幾何微分方程式の大域解を全て構成した(変換群が不定値ユニタリ群,領域がAIII型の有界対称領域の場合)。
当該期間中に上記の高階の偏微分方程式系に対して,以下に述べる研究1,2を行った。
1.高階の超幾何微分方程式に一階の微分方程式系を加えたときの大域解の空間の有限次元性(特に局所解が無限次元である場合)とその次元の組合せ論的記述
このために,古典型有界対称領域上に小行列式型の高階の偏微分方程式系を定義し,全ての大域解を幾何的に構成した。構成はペンローズによるtwistor理論を,高次元の非コンパクトな複素多様体上のDolbeaultコホモロジーに一般化することで行った。
この結果は論文にまとめ,"Combinatorial formula of the dimension of global solutions to a generalized hypergeometric system M_<3,2>(ν)"(Japanese Journal of Mathematics,2001)において出版された。
2.簡約リー群のユニタリ表現に対するペンローズ変換の一般化
AIII型の古典型有界対称領域上に定義されていたペンローズ変換を楕円型軌道に付随するユニタリ表現に対して一般化した。更に,適切な部分群を与えたときのペンローズ変換の制限写像の定式化を行なった。このために,ユニタリ表現の離散的な分岐則の理論を用いた。
これらの結果は論文にまとめ,"The Penrose transform for Sp(n, R) and singular unitary representations" (Journal of the Mathematical Society of Japan,2002)において出版された。
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