| 研究概要 |
今年度は準射影代数多様体上の負のリッチ曲率を持つ(概完備)ケーラー・アインシュタイン(KE)計量の境界因子への漸近挙動にっいて考察を行った.
この研究は, Tian-Yau, 板東, 小林(亮), そして辻による負のリッチ曲率を持つ(概完備)KE計量の存在定理に端を発しており, その存在のための条件として「随伴束の正値性」が必要である. 一方で, 同じ正値性の条件の下で, 境界の近くでボアンカレ増大である完備ケーラー計量を随伴束のクラスからとると, それを初期計量とする正規化されたケーラー・リッチ(KR)流が先程のKE計量に時間無限大で収束することがLott-Zhang, Chauによって示されている.
そして, これまでこれらの標準計量の境界漸近に関しての研究がいくつか成されている. まず「随伴束の正値性」の中で対数的標準束が豊富である場合, KE計量を境界に漸近させると, 境界因子上のKE計量に近づくことがSchumacherによって示された. 一方, 上述のKR流に関しての境界漸近は, 境界上の対応するKR流に近づくことがLott-Zhangによって得られている.
私は今年度, Schumacherの結果を参考に, 一般の随伴束の正値性条件の下(この場合には境界はKE計量を許容しない)では, 「KE計量を境界に漸近させると, 境界上の一般化されたKE計量に近づく」と予想を立て, その解決に向けて様々な考察を行った. この予想は複素曲面の場合は正しいと知られているが, 私がこの予想に関して今年度得た成果は, 「境界が一般型であれば予想は正しい」ということである. その証明の鍵は, 境界の標準因子の固定点集合の近傍の外では, 上述のKR流はKE計量に一様収束する, という事実である. これとLott-ZhangによるKR流の境界漸近, そしてKR流は一般化KE計量に収束するという辻, Song-Tianの結果を組み合わせると主張が従う.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
測度双曲性そのものに関する研究成果をあげることが出来なかったが, 測度双曲性を定める擬体積形式と同様に内在的であるケーラー・アインシュタイン計量とケーラー・リッチ流に関する知識や成果を得ることが出来た. それらは全てリッチ曲率が負に近い多様体特有であり, そして測度双曲性を満たす多様体はリッチ曲率が負に近いと期待されているので, その性質を理解できたという点では進展していると考えている.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は測度双曲性のみだけでなく, それと関速したリッチ曲率が非正な多様体に関する特有の性質(例えば一般化されたケーラー・アインシュタイン計量とケーラー・リッチ流等)も調べることが重要であると考える. それによって, 測度双曲多様体の性質を研究する手段・方法そして感覚を得られるからである. 特に研究実績でも述べたような「準射影代数多様体上の概完備ケーラー・アインシュタイン計量の境界漸近と, 境界因子上の一般化されたケーラー・アインシュタイン計量の関係」についての予想の解決を目指したい. ただし同時進行で測度双曲性自体の研究も行う予定である. 例えばカラテオドリー測度双曲多様体の余接束の巨大性を導きだすことを第一の目標としたい. 手法としては, カラテオドリー計量という特異な複素フィンスラー計量の曲率を多重ポテンシャル論を駆使して調べることある. また小林測度双曲性に関しても, 標準束の正値性を測る小平次元と関連した中間の小林測度双曲性を測る様な測度を見つけ出したい. それは小平次元の普遍被覆での不変性に応用出来るのではないかと考えている.
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