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波動場の幾何と解析

研究課題

研究課題/領域番号 13304011
研究種目

基盤研究(A)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 大域解析学
研究機関北海道大学

研究代表者

小澤 徹  北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70204196)

研究分担者 中村 玄  北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50118535)
堤 誉志雄  京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10180027)
林 仲夫  大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30173016)
中西 賢次  名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (40322200)
高岡 秀夫  神戸大学, 理学部, 助教授 (10322794)
利根川 吉廣  北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80296748)
研究期間 (年度) 2001 – 2003
研究課題ステータス 完了 (2003年度)
配分額 *注記
35,360千円 (直接経費: 27,200千円、間接経費: 8,160千円)
2003年度: 11,700千円 (直接経費: 9,000千円、間接経費: 2,700千円)
2002年度: 11,700千円 (直接経費: 9,000千円、間接経費: 2,700千円)
2001年度: 11,960千円 (直接経費: 9,200千円、間接経費: 2,760千円)
キーワード非線型波動方程式 / 非線型ディラック方程式 / 非線型クライン・ゴルドン方程式 / 非線型シュレディンガー方程式 / 散乱理論 / 非線型分散型偏微分方程式 / 非線型双曲型偏微分方程式 / 非線型散乱理論 / 非相対論的極限 / 非線型散乱問題
研究概要

本研究では、非線型シュレディンガー方程式やKdV方程式を始めとする非線型分散方程式、非線型波動方程式や非線型クライン・ゴルドン方程式を始めとする非線型双曲型方程式、および非線型ディラック方程式の様な方程式系について、相互作用の幾何学的・解析学的研究を通して、解の様々な時空大域的振舞いを解明する事が出来た。
非線型シュレディンガー方程式では、空間3次元、反撥型非線型項の下でエネルギー散乱の漸近完全性を証明した。データが小さい場合の散乱理論については、空間次元、ソボレフ指数、非線型項の斉次冪の三者間の成す臨界等式の下で成立する事が、非線型シュレディンガー方程式の場合には良く知られていたが、本研究では斉次冪でない場合にも拡張できる事を示した。この考え方を推し進めて、小さなデータで非斉次相互作用の場合の散乱理論を非線型波動方程式、非線型クライン・ゴルドン方程式、非線型シュレデインガー方程式、非線型ディラック方程式について、統一的に論じる事に成功した。
本研究では、シュレディンガー方程式の様な非相対論的方程式を相対論的方程式の光速無限大に於る極限方程式と見做す為の数学的基礎づけも行なった。特にクライン・ゴルドン複素スカラー場に位相変調とスケール変換を施し光速を無限大にした場がシュレディンガー場である事をエネルギー空間H^1(R^3)の枠組で証明した。同様な試みは、ディラック場でH^3(R^3)【cross product】C^4(s>1)の枠組で完成したが、臨界の場合(s=1)ではどうなるのか現在の所不明である。
また、スケール不変性を持つ波動場は、ミンコフスキ空間で特別な幾何学的特徴を持っているが、解析的には原点、無限遠点、光錐曲面上の特異性によりその取扱いが大変困難であった。本研究では、その困難を時空の重み付き弱ルベーグ空間を導入する事で効率的に制御する事が出来た。

報告書

(4件)
  • 2003 実績報告書   研究成果報告書概要
  • 2002 実績報告書
  • 2001 実績報告書
  • 研究成果

    (29件)

すべて 2005 2004 2002 2001 その他

すべて 雑誌論文 (9件) 図書 (1件) 文献書誌 (19件)

  • [雑誌論文] Oscillating decaying solutions, Runge approximation property for the anisotropic elasticity system and their applications to inverse problems2005

    • 著者名/発表者名
      G.Nakamura
    • 雑誌名

      Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 84

      ページ: 21-54

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Oscillating-decaying solutions, Runge approximation property for the anisotropic elasticity system and their applications to inverse problems2005

    • 著者名/発表者名
      G.Nakamura
    • 雑誌名

      Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 84

      ページ: 21-54

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Nonlinear theory of pseudodifferential equations on a half-line2004

    • 著者名/発表者名
      Hayashi Nakao
    • 雑誌名

      Elseveir Science B.V., Amsterdam

      ページ: 319-319

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Weighted Uniform Decay Estimates for Solutions to Isotropic Elastic Wave Equations2002

    • 著者名/発表者名
      R.Agemi
    • 雑誌名

      Advances in Mathematical Sciences and Applications 12

      ページ: 151-173

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Nonrelativistic limit in the energy space for nonlinear Klein-Gordon equations2002

    • 著者名/発表者名
      S.Machihara
    • 雑誌名

      Mathematische Annalen 322

      ページ: 603-621

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] From nonlinear Klein-Gordon equation to a system of coupled nonlinear Schrodinger equations2002

    • 著者名/発表者名
      K.Nakanishi
    • 雑誌名

      Mathematische Annalen 324

      ページ: 359-389

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Small data scattering for nonlinear Schrodinger, wave and Klein-Gordon equations2002

    • 著者名/発表者名
      M.Nakamura
    • 雑誌名

      Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa Serie V 1

      ページ: 435-460

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Small data scattering for nonlinear Schrodinger wave and Klein-Gordon equations2002

    • 著者名/発表者名
      M.Nakamura
    • 雑誌名

      Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa Serie V, 1

      ページ: 435-460

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Global existence of small solutions to the quadratic nonlinear Schrodinger equations in two space dimensions2001

    • 著者名/発表者名
      N.Hayashi
    • 雑誌名

      SIAM Journal on Mathematical Analysis 32

      ページ: 1390-1403

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [図書] Nonlinear theory of pseudodifferential equations on a half-line2004

    • 著者名/発表者名
      Hayashi Nakao
    • 総ページ数
      319
    • 出版者
      Elsevier Science B.V., Amsterdam
    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] S.Machihara: "Small global solutions and the nonrelativistic limit for the nonlinear Dirac equation"Revista Matematica Iberoamericana. 19. 179-194 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] T.Ozawa: "Life-span of smooth solutions to the complex Ginzburg-Landau type equation on a torus"Nonlinearity. 16. 2029-2034 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] J.Kato: "Weighted Strichartz estimates and existence of self-similar solutions for semilinear wave equations"Indiana University Mathematical Journal. 52. 1615-1630 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] Y.Tsutsumi: "Stability of constant equilibrium for the Maxwell-Higgs equations"Funkcialaj Ekvacioj. 46. 41-62 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] J.Kato: "On solutions of the wave equation with homogeneous Cauchy data"Asymptotic Analysis. 37. 93-107 (2004)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] T.Ozawa: "Smoothing effect and large time behavior of solutions to Schrodinger equations with nonlinearity of integral type"Communications in Contemporary Mathematics. (印刷中). (2004)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] N.Hayashi: "Nonlinear Theory of Pseudodifferential Equations on a half line"North Holland. 340 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] H.Hayashi: "Time decay of small solutions to quadratic nonlinear Schrodinger equations in 3D"Differential and Integral Equations. 16. 159-179 (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] S.Machihara: "Nonrelativistic limit in the energy space for nonlinear Klein-Gordon equations"Mathematische Annalen. 322. 603-621 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] K.Nakanishi: "Remarks on scattering for nonlinear Schrodinger equations"Nonlinear Differential Equations and Applications. 9. 45-68 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] M.Nakamura: "Small date scattering for nonlinear Schrodinger, wave and klein-Gordon equations"Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, V. 1・2. 435-460 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] J.Colliander: "Almost conservation laws and global rough solutions to a Nonlinear Schrodinger equation"Mathematical Research Letters. 9. 1-24 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] M.Eller: "Uniqueness and stability in the Cauchy problem for Maxwell's and elasticity systems"Studies in Mathematics and its Applications. 31. 329-349 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] M. Nakamura: "The Cauchy problem for nonlinear Klein-Gordon equations in the Sobolev spaces"Publications RIMS, Kyoto University. 37. 255-293 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] N. Hayashi: "Global existence of small solutions to quadratic nonlinear Schrodinger equations in two space dimensions"SIAM Journal on Mathematical Analysis. 32. 1390-1403 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] M. Nakamura: "Small solutions to nonlinear wave equations in the Sobolev space"Houston Journal of Mathematics. 27. 613-632 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] S. Machihara: "Nonrelativistic limit in the energy space for nonlinear Klein-Gordon equations"Mathematische Armalen. (印刷中).

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] S. Machihara: "Small global solutions and the nonrelativistic limit for the nonlinear Dirac equation"Revista Matematica Iberoamericana. (印刷中).

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] S. Machihara: "Interpolation inequalities in Besov spaces"Proceedings of American Mathematical Society. (印刷中).

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書

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公開日: 2001-04-01   更新日: 2016-04-21  

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