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正則化法の適用による逆問題・非適切問題の解の構成に対する数学解析と数値解析

研究課題

研究課題/領域番号 13440031
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 数学一般(含確率論・統計数学)
研究機関京都大学

研究代表者

磯 祐介  京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)

研究分担者 今井 仁司  徳島大学, 工学部, 教授 (80203298)
山本 昌宏  東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (50182647)
西村 直志  学術情報メディアセンター, 教授 (90127118)
登坂 宣好  日本大学, 生産工学部, 教授 (00059776)
大西 和榮  茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
田沼 一実  群馬大学, 工学部, 助教授 (60217156)
研究期間 (年度) 2001 – 2003
研究課題ステータス 完了 (2003年度)
配分額 *注記
14,700千円 (直接経費: 14,700千円)
2003年度: 4,500千円 (直接経費: 4,500千円)
2002年度: 4,100千円 (直接経費: 4,100千円)
2001年度: 6,100千円 (直接経費: 6,100千円)
キーワードTikhonov正則化法 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多培長数値計算 / スペクトル法 / 区間演算 / Tikhonov正規化法 / 応用解析 / 第1種積分方程式 / 多倍長数値計算 / 正則化法 / Lカーブ法 / 多倍長計算 / 弾性方程式
研究概要

本課題研究では「正則化法による数値解析」を広い意味で捉え、逆問題・非適切問題の解析手法の確立を目ざした幅広い視点からの研究を行ない成果を得た。
逆問題は医用CTや非破壊検査技術・ジオレーダー等の実用技術と関わる問題であり、その研究の進展は先端技術の革新と直結している。特に信頼できる数値解の構成は、実用上からも重要な課題となっている。その一方で、数学的には殆どの逆問題はHadamardの意味での非適切(ill-posed)であり、従来の数値解析手法の適用が困難であることが多い。大雑把な表現であるが、対象とする数理モデル(微分方程式)が安定な解を一意的にもつことが「適切(well-posed)」の意味であるので、この否定概念の非適切問題の解析が困難であることは容易に想像されよう。
このような非適性を緩和する手法として、数学においては種々の「正則化法」が提案されるている。これはパラメータを含む"正則化項"の導入によって非適切問題を適切な問題の系列で近似するもので、数値計算等においては正則化された問題を通常手法で離散化することとなる。Tikhonov正則化法はその最も汎用的かつ有名な方法である。本課題研究は、この正則化法を中心に、幅広い視点から逆問題・非適切問題の解析に取り組み、多くの成果を上げた。
特筆すべき成果は、浮動小数点数値計算の基礎であるIEEE754方式による倍精度計算環境そのものの見直しを行ない、非適切問題の数値計算を念頭においた高速多倍長数値計算環境を設計・実装したことである。これは本課題研究の研究協力者の成果に負うものであるが、これによってTikhonov正則化法の正則化パラーメタ選択に関する従来手法の問題点を指摘した。さらにこの計算環境を活かして非適切問題の高精度数値計算を行なうために、スペクトル法を基礎とするアルゴリズムを開発したことも大きな成果と言えよう。
さらに、Dirichlet-Neumann写像の局所化や積分方程式の適用も含め、逆問題・非適切問題の解の再構成手法を数学・数値解析の視点から深化させ成果を挙げている。さらに、今後は非均質な媒体における逆問題解析が重要になると考え、その解析の基礎となるフラクタル領域での熱や波の伝播の基礎理論、多倍長数値計算環境における事後誤差解析としての精度保証数値解析など、これらのあらたな解析手法の確立のための基礎研究にも光を当て、将来を示唆する先駆的な成果を挙げることができた。

報告書

(4件)
  • 2003 実績報告書   研究成果報告書概要
  • 2002 実績報告書
  • 2001 実績報告書
  • 研究成果

    (28件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (28件)

  • [文献書誌] Y.Iso: "Numerical challenge to ill-posed problems by fast multiple-precision system"Theoretical and Applied Mechanics. 50巻6号. 419-424 (2001)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] 藤原 宏志, 磯 祐介: "Some Remarks on the Choice of Regularization Parameters under Multiple-Precision Arithmetic"Theoretical and Applied Mechanics Japan. 51巻. 387-393 (2002)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] 藤原 宏志, 磯 祐介: "64bit計算環境に適した多倍長数値計算環境の構築と非適切問題の数値計算"情報処理学会論文誌. 44巻3号. 925-931 (2003)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] N.Nishimura: "Application of fast multipole Galerkin boundary integral equation method to elastostatic crack problems in 3D"J.Num.Math.Eng.. 50巻. 525-547 (2001)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] 大西 和榮, 林 圭佐, 他: "Direct Numerical Identification of Boundary Values in the Laplace Equation"Journal of Computational and Applied Mathematics. 152巻. 161-174 (2003)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] 山本昌宏, V.Isakov他: "An inverse problem for the dynamical Lame system with two sets of boundary data"Communications of Pure and Applied Mathematics. 56巻. 1366-1382 (2003)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Yuusuke Iso: "Numerical challenge to ill-posed problems by fast multiple-precision system"Theoretical and Applied Mechanics. 50-6. 419-424 (2001)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Hiroshi Fujiwara, Yuusuke Iso: "Some Remarks on the Choice of Regularization Parameters under Multiple -Precision Arithmetic"Theoretical and Applied Mechanics Japan. 51. 387-393 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Hiroshi Fujiwara, Yuusuke Iso: "Design of a Multiple-Precision Arithmetic Package for a 64-bit Computing Environment and its Application to Numerical Computation of Ill-Posed Problems"Information Processing Society of Japan (Transactions). 44-3. 925-931 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] N.Nishimura: "A Application of fast multiple Galerkin boundary integral equation method to elastostatic crack problems in 3D"J.Num.Math.Eng.. 50. 525-547 (2001)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Kazuei Ounishi, Keisa Hayashi: "Direct Numerical Identification of Boundary Values in the Laplace Equation"Journal of Computational and Applied Mathematics. 152. 161-174 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Masahiro Yamamoto, V.Isakov: "An inverse problem for the dynamical Lame system with two sets of boundary data"Communications of Pure and Applied Mathematics. 56. 1366-1382 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] 藤原 宏志, 磯 祐介: "64bit計算環境に適した多倍長数値計算環境の構築と非適切問題の数値計算"情報処理学会論文誌. 44巻3号. 925-931 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] 藤原 宏志, 磯 祐介: "Some Remarks on the Choice of Regularization Parameters under Multiple-Precision Arithmetic"Theoretical and Applied Mechanics Japan. 51巻. 387-393 (2002)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] 今井 仁司: "応用解析における多倍長計算"数学. 55巻3号. 316-325 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] 大西 和榮, 林 圭佐 他: "Direct Numerical Identification of Boundary Values in the Laplace Equation"Journal of Computational and Applied Mathematics. 152巻. 161-174 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] 西川 直志, 吉川 仁: "An Improved Implementation of Time Domain Elastodynamic BIEM in 3D for Large Scale Problems and its Application to Ultrasonic NDE"Electronic Journal of Boundary Elements. 1巻. 201-217 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] 山本昌宏, V.Isakov 他: "An inverse problem for the dynamical Lame system with two sets of boundary data"Communications of Pure and Applied Mathematics. 56巻. 1366-1382 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] H.Fujiwara, Y.Iso: "Some Remarks on the Choice of Regularization Parameters under Multiple-Precision"Theoretical and Applied Mechanics. 51. 387-393 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] 磯祐介, 藤原宏志: "多倍長計算による非適切問題の数値解析"日本計算数理工学会論文集. 第2号. 35-38 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] M.kubo, C.Mehring, U.Hehl: "Activity Dynamics and propagation of synchronous S spiking in locally connected random networks"Biological Cybernetics. (in press). (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] 吉川仁, 西村直志, 小林昭一: "3次元時間域動弾性波動問題における境界積分方程式法のアルゴリズム改良と並列化"土木学会応用力学論文集. 5. 199-206 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] 今井仁司, 竹内敏己, 坂口秀雄: "楕円型作用素のコーシー問題に対する無限精度数値シミュレーション"第52回理論応用力学講演会講演論文集. 195-196 (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] 今井卓司, 登坂宣好: "フィルタリングアルゴリズムを用いたトラス構造物の損傷同定解析"日本計算工学会論文集. 4. 63-71 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] Y.Iso: "Numerical challenge to ill-posed problems by fast multiple-precision system"Theoretical and Applied Mechanics. 50-6. 419-424 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] Y.Iso: "Numerical computations of ill-conditioned problems by multiple precision system"Proceedings of MSCOM2000. 185-194 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] 西村 直志: "多重極積分方程式法を用いたクラックによる3次元散乱問題の解析"機械学会論文集. A-67. 16-22 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] N.Nishimura: "Application of fast multipole Galerkin boundary integral equation method to elastostatic crack problems in 3D"J.Num.Math.Eng.. 50. 525-547 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書

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公開日: 2001-04-01   更新日: 2016-04-21  

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