| 研究概要 |
1.多項式環の一般化として,環Rと全順序モノイドGに対して,半群環RGを考えた。環RがG-Armendariz環であるとは,RGの2元の積が0であるとき,それらの係数の積もすべて0になることと定義する。このことと環Rの零化イデアルとRGの零化イデアルの間に自然な一対一の対応がつくことが同値であることを示した。このことからG-Armendariz環がBaer環のとき,半群環RGもBaer環になることを示した。また,一般化を行うことにより,全順序半群Gと環Rに対してRがG-quasi-Armendariz環の概念が定義でき,類似の特徴付けが得られることを示した。また,環Rの単項左イデアルの零化イデアルがpureな左イデアルであれば,任意の全順序モノイドGに対して,RはG-quasi-Armendarizになることを示した。このことからquasi-Baer環がG-quasi-Armendarizになることがわかる。これにより,quasi-Baer環R上の全順序半群環RGがまたquasi-Baer環になることが示された。
2.環RのイデアルIに対して,いつ任意の加群Mで,Iで消されるMの部分加群が直和になるか,を考察した。これは,加群Mに対して,イデアルIで消される部分加群を対応させるpreradicalが分裂するという条件,言い換えると,分裂トーション理論を定義するということを考えることである。もし,環RのイデアルIがこの条件を満たし,RがI-トーションフリーであれば,Iを含む任意のイデアルHに対し,R/Hが右遺伝的右完全環になることを示した。特に,Rが可換環であれば,イデアルIがこの条件をみたすための必要十分条件を与えた。更に,OsofskyとSmithの結果を応用して,環RのイデアルIに対して,対応するpreradicalが分裂すれば,環Rの任意の剰余環が素環の直和になることを示した。
3.環Rの単数群U(R)をRに左から自然に作用させるとき,軌道が有限個になるための必要十分はRが有限個の左単列環と有限環の直和になるであることを示した。特に,環Rの0でない任意の商環が有限環でないならば,この条件はRが左アルチン,左分配環になることと同値であることを示した。
4.J.A.Jordanが1981年に可逆な微分を持たない微分環の存在を示したことに関連して,可換環上の可換なn個の微分作用素による非可換n変数多項式環がある条件の下で単純な微分環になることを示した。
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