| 研究課題/領域番号 |
13640053
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 鳥羽商船高等専門学校 |
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研究代表者 |
奥山 京 鳥羽商船高等専門学校, 助教授 (20177190)
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| 研究分担者 |
佐波 学 鳥羽商船高等専門学校, 講師 (10226029)
名城 宏昭 (名城 紘昭) 鳥羽商船高等専門学校, 教授 (40043252)
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| 研究期間 (年度) |
2001 – 2002
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| 研究課題ステータス |
完了 (2002年度)
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| 配分額 *注記 |
1,500千円 (直接経費: 1,500千円)
2002年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
2001年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
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| キーワード | 純粋包をもつ部分群 / 準純粋包を持つ部分群 / pオーバーハング集合 / 最大トーション部分群 / トーションフリー部分群 / T高部分群 / 高度行列 / トーションフリーランク / 準純粋包をもつ部分群 / 純粋包 / p-overhang set / 準純粋包 / empty-p-overhang set部分群 / 最大ねじれ部分群 |
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| 研究概要 |
一般のアーベル群Gにおいて、部分群Aを含む極小な純粋部分群が存在するとき、部分群Aは純粋包をもつという。一般的には、任意の部分群は必ずしも純粋包をもたない。そこで、「いかなる部分群Aが群Gの中で純粋包をもつか」という問題が提起される。本研究の出発点はこの問題にある。本研究では部分群Aをトーションフリーに限定して考察した。その結果次のような成果を得た。
(1)部分群Aがトーションフリーでランクが有限のとき、純粋包をもつための必要十分条件を得る。
(2)部分群Aがトーションフリーで純粋包をもつとき、Aのすべての純粋包は同型であることを証明。
上記(1)の結果はアーベル群の分解問題に適用できる。分解問題とは、「一般のアーベル群が最大トーション部分群とトーションフリー部分群の直和に分解するのはいかなるときか」という問題である。この分解問題に対して、「群Gがトーションフリーランク有限のとき、群Gが分解するための必要十分条件」を得た。
準純粋包をもつ部分群に対しても、「いかなる部分群Aが群Gの中で準純粋包をもつか」という問題が提起でき、この問題に対して、「部分群Aがトーションフリーランク1のとき、準純粋包をもつための必要十分条件」を得た。この結果は、群Gにおけるストレイトな元の高度行列を求めることに利用できる。例えば、「可算なトーションフリーランク1の群は、その最大トーション部分群と位数無限な元の高度行列で決まる」という事実はよく知られている。
準純粋包をもつ部分群については、最大準純粋包が存在するので、最大トーション部分群がトーションコンプリートである群、たとえば、巡回p群の直積、の分類、あるいはADE分解に利用できないだろうか、という今後の課題を得た。
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