| 研究課題/領域番号 |
13640086
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 補助金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 研究分野 |
幾何学
|
|---|
| 研究機関 | 東京都立大学 |
|---|
研究代表者 |
横田 佳之 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (40240197)
|
|---|
| 研究分担者 |
今井 淳 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (70221132)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2001 – 2002
|
| 研究課題ステータス |
完了 (2002年度)
|
| 配分額 *注記 |
2,300千円 (直接経費: 2,300千円)
2002年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2001年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
|
|---|
| キーワード | ジョーンズ多項式 / 体積予想 / 変型空間 / A-多項式 / 表現空間 / 変形空間 |
|---|
| 研究概要 |
結び目の体積予想とは、有名なジョーンズ多項式の一般化である次数つきジョーンズ多項式の漸近挙動が、結び目の補空間の単体的体積を決定するという驚くべき予想で、最初にカシャエフが双曲結び目に対する予想を定式化し、のちに村上斉-村上順によって一般の結び目に対して拡張されました。この予想は、村上斉-村上順-岡本-高田-横田による数値実験を経由して、チャーン・サイモンズ不変量を含む形にまで複素化され、とくに最近海外で注目を集めているテーマです。
この研究では、結び目の体積予想の研究で構築した多様体の四面体分割の理論を応用して、ノイマン・ザギエ、吉田によって発見された双曲構造の変型空間上の解析関数や、結び目補空間の基本群の表現空間から得られる代数曲線の定義多項式であるA-多項式など、いままで計算が困難であった重要な不変量を組み合わせ的に求める方法を開発し、その過程を通じて、多様体の幾何構造と次数つきジョーンズ多項式が、体積予想を超えて深くかかわっている事実を明らかにしました。また研究分担者の協力のもと、メビウス変換で不変な結び目の汎関数と次数つきジョーンズ多項式との関連についての研究を行いました。
結び目補空間の双曲構造の変形空間上で定義される解析関数は、もともと体積とチャーン・サイモンズ不変量の解析的な関係を明らかにするために導入されたものですが、結び目補空間を完備化して得られる三次元多様体の量子不変量の漸近挙動に現れるポテンシャル関数に一致することが期待されています。またA-多項式は、結び目補空間の双曲構造が崩壊する例外型デーン手術と深い関係がある重要な不変量ですが、一方でそのマーラー測度に擬体積デデキントのゼータ関数が現れることがボイドによって発見されるなど、最近ではトポロジーの研究者だけでなく数論の研究者にも注目されている不変量です。
この研究で得られた成果は、多数の研究集会に招待され、講演をする機会にめぐまれました。この研究を足掛かりとして、結び目の体積予想をめぐる研究が、世界的な規模で今後もおおいに進むことを期待しています。
|
