| 研究概要 |
Thurstonは双曲Dehn手術理論により,もとの結び目が双曲結び目の場合(すなわちS^3-Kが双曲構造をもつとき),有限個の手術を除きDehn手術後も再び双曲構造をもつことを示した。どのような状況で,その除外される有限個の非双曲Dehn手術が生じるのだろうか?この問題に答えることがDehn手術理論の主要な研究対象になっている。
本研究では非双曲Dehn手術のうち,Seifert多様体を生成する手術(Seifert手術)に焦点を絞って研究を進めた。トーラス結び目上のSeifert手術はトーラス結び目の補空間のSeifertファイブレーションの拡張という観点から自然な説明がつくことが知られている。それでは双曲結び目上のSeifert手術はどのようにして生じるのだろうか?GordonはすべてのSeifert手術がprimitive/Seifert構成と呼ばれる構成法で説明可能だろうという予想(primitive/Seifert予想)を提出した(1996年)。その後,Eudave-Munozをはじめ多くの研究者によって,この予想を支持する結果も示されてきた。平成13年度の研究においてMattman氏,宮崎氏との共同研究でprimitive/Seifert構成では説明できないSeifert手術の例を無限個構成し,primitive/Seifert予想を否定的に解決した。primitive/Seifert構成で説明可能であれば,その結び目は強可逆という対称性をもたなければならない。本年度はSeifert手術をより詳しく解明するために,Seifert手術と強可逆性,トンネル数との関係に着目して研究を進めた。これまでに知られているprimitive/Seifert構成で説明不能な例はすべて強可逆性をもたない双曲結び目であったので,強可逆性を仮定すればprimitive/Seifert構成で説明可能なのではないか,という弱い形の予想を立ててこの解決を目指した。しかし,最近Song氏との共同研究で強可逆性をもっているにもかかわらず、primitive/Seifert構成で説明不可能な例を無限個構成することに成功した。これまでの例はいずれもトンネル数が2で,S^3の種数2のHeegaard曲面上に埋め込めるなどの性質をもっており,これらの性質が必要条件になっていることを今後の研究で明らかにしていきたい。
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