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整数論における密度定理と確率論における極限定理-大数の法則,中心極限定理…

研究課題

研究課題/領域番号 13640108
研究種目

基盤研究(C)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 数学一般(含確率論・統計数学)
研究機関金沢大学

研究代表者

高信 敏  金沢大学, 自然科学研究科, 助教授 (40197124)

研究分担者 中尾 愼太郎  金沢大学, 理学部, 教授 (90030783)
一瀬 孝  金沢大学, 理学部, 教授 (20024044)
藤本 坦孝 (藤本 担孝)  金沢大学, 理学部, 教授 (60023595)
田村 博志  金沢大学, 理学部, 助教授 (80188440)
藤曲 哲郎  金沢大学, 理学部, 教授 (60016102)
研究期間 (年度) 2001 – 2002
研究課題ステータス 完了 (2002年度)
配分額 *注記
3,300千円 (直接経費: 3,300千円)
2002年度: 1,600千円 (直接経費: 1,600千円)
2001年度: 1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
キーワードディリクレの密度定理 / 大数の強法則 / 中心極限定理スケーリング / 有限整アデール環 / 中心極限スケーリング
研究概要

ディリクレによる「2整数が互いに素になる確率=6/\pi^2」という密度定理を,通常の確率論における大数の強法則に翻訳し,極限定理における次のステップである中心極限定理スケーリングを考え,そしてさらにその奥にある(はずの)極限定理を見出す試みをした.
我々の基礎とする確率空間は(Zhat,\lambda)(ただしZhat(ゼットハットと読む)は有限整アデール環,\lambdaはその上のハール確率測度)とし,アデールの組(x,y)\in Zhat\time Zhatが互いに素のとき,1,そうでないとき0を返す関数をX(x,y)とする.このときS_N(x, y)=(1/N^2)\sum_{m,n=1}^N X(x+m,y+n)はN\to\inftyのとき,6/\pi^2に概収束する.これが大数の強法則である.
次に中心極限定理スケーリングN(S_N(x,y)-6/\pi^2)を考える.Nを無限大にもっていく仕方に応じて,即ち,部分列{N_k}ごとにこれは収束し,その極限は{N_k}から定まる商空間Zhat/\simの元によって完全にパラメトライズされる.とくに,N(S_N(x,y)-6/\pi^2)はN\to\inftyのとき収束しない-中心極限定理は成立しない-のである!
ところが,この収束をCes\`aroの意味で捉え直す,即ち,相加平均の極限として捉えるならば次のことが分かった:
(1/N)\sum_{n=1}^N n(S_n(x,y)-6/\pi^2) \to U(x)+U(y) in L^2.
ここでU(x)=\sum_{u=1}^{infty}(\mu(u)/u)((x\mod u)/u-(u-1)/2u) in L^2である(\mu(u)はメビウス関数).このUがどのようなものであるかを探るのが本当にやらねばならぬ仕事となる.本研究で分かったことは
「Uの分布は対称で,L^{infty-}に属する」
である.(平均ゼロの)正規分布もこの性質をもっているが,「Uの分布は正規分布とは似て非なるものである」だろうという予想を立てている.もしこれが成り立つ(正しい)ならば,我々はこれを非中心極限定理とよびたい.
もう1つ,部分列{N_k}が商空間Zhat/\simの中でN_k \not=0,N_k\to 0ならば
N_k(S_{N_k}(x,y)-6/\pi^2) \to 0 in L^2
となってしまう.自明でない極限を取り出すためにN_k(S_{N_k}(x,y)-6/\pi^2)の標準偏差で割るというrenormalizationを施すと,「これはk\to\inftyのとき標準正規分布に収束する」だろうという予想も立てている.
これら2つの予想を確かめる(証明する)までは行かなかった.ただ,これら予想を立てた1つの根拠として,数値実験による検証を与えた.

報告書

(3件)
  • 2002 実績報告書   研究成果報告書概要
  • 2001 実績報告書
  • 研究成果

    (21件)

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すべて 文献書誌 (21件)

  • [文献書誌] Satoshi Takanobu: "On the strong-mixing property of skew product of binary transformation on 2-dimensional torus by irrational rotation"Tokyo Journal of Mathematics. 25. 1-15 (2002)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Hiroshi Sugita, Satoshi Takanobu: "The probability of two integers to be co-prime, revisited-on the behavior of CLT-scaling limit"Osaka Journal of Mathematics. (2003)

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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Hirotaka Fujimoto: "On uniqueness polynomials for meromorphic functions"Nagoya Mathematical Journal. (2003)

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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Takashi Ichinose, Brian Jefferies: "The propagator of the radial Dirac equation"J.Math.Phys.. 43. 3963-3983 (2002)

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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Christian Gruber, Hiroshi Tamura, Valentin A.Zagrebnov: "Berezinsky-Kosterlitz-Thouless order in two-dimensional O(2)-ferrofluid"J.Stat.Phys.. 106. 875-893 (2002)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Takashi Ichinose, Hideo Tamura: "The norm convergence of the Trotter-Kato product formula with error bound"Commun.Math.Phys.. 217. 489-502 (2001)

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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Satoshi Takanobu: "On the strong-mixing property of skew product of binary transformation on 2-dimensional torus by irrational rotation"Tokyo Journal of Mathematics. 25. 1-15 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Hiroshi Sugita and Satoshi Takanobu: "The probability of two integers to be co-prime, revisited - on the behavior of CLT-scaling limit"Osaka Journal of Mathematics. to appear.

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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Hirotaka Fujimoto: "On uniqueness polynomials for mero moiphic functions Nagoya"Mathematical Journal. to appear.

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Takashi Ichinose and Hideo Tamura: "The norm convergence of the Trotter-Kato product formula with error bound"Commun. Math. Phys.. 217. 489-502 (2001)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Takashi Ichinose and Brian Jefferies: "The propagator of the radial Dirac equation"J. Math. Phys.. 43. 3963-3983 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
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      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Christian Gruber, Hiroshi Tamura and Valentin A. Zagrebnov: "Berezinsky-Kosterlitz-Thouless order in two-dimensional O(2)-ferrofluid"J. Stat. Phys.. 106. 875-893 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2002 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Satoshi Takanobu: "On the strong-mixing property of skew product of binary transformation on 2-dimensional torus by irratinal rotation"Tokyo Journal of Mathematics. 25. 1-15 (2002)

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      2002 実績報告書
  • [文献書誌] Hiroshi Sugita, Satoshi Takanobu: "The probability of two integers to be co-prime, revisited ---on the behavior of CLT-scaling limit"Osaka Journal of Mathematics. (印刷中). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] Hirotaka Fujimoto: "On uniqueness polynomials for meromorphic functions"Nagoya Mathematical Journal. (印刷中). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] Takashi Ichinose, Brian Jefferies: "The propagator of the radial Dirac equation"J. Math. Phys.. 43. 3963-3983 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] Christian Gruber, Hiroshi Tamura, Valentin A Zagrebnov: "Berezinsky-Kosterlitz-Thouless order in two-dimensional O(2)-ferrofluid"J. Stat. Phys.. 106. 875-893 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] Satoshi Takanobu: "On the strong-mixing property of skew product of binary transformation on 2-dimensional torus by irrational rotation"Tokyo Journal of Mathematics. (2002)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] Hirotaka Fujimoto: "A family of hyperbolic hypersurfaces in the complex space"Complex Variables. 43. 273-283 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] Takashi Ichinose: "Note on the paper "The norm convergence of the Trotter-Kato product formula with error bound" by Ichinose and Tamura"Communications in Mathematical Physics. 221. 499-510 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] Takashi Ichinose: "On the norm convergence of the selfadjoint Trotter-Kato product formula with error bound"Proc.Indian Accad.Sci.(Math.Sct). 112. (2002)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書

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公開日: 2001-04-01   更新日: 2016-04-21  

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