| 研究概要 |
まず、制約条件u(t)∈Kのついた発展方程式u'(t)+Au(t)∋f(t,u(t)),0【less than or equal】t【less than or equal】Tに対して、初期値問題およびT-周期解の存在についての結果を得た。ここで、(V,‖・‖)は回帰的バナッハ空間でヒルベルト空間(H,<・,・>)に稠密に埋め込まれているとし、A⊂H×Hは極大単調作用素で<Ax-Ay,x-y>【greater than or equal】‖x-y‖^p(p>1)を満たし、KはHの閉凸集合、f:[0,T]×K→Hはカラテオドリ作用素である。ただし、f(t,・)の連続性は、Vの位相であるために、Botheの結果を拡張したものになっている。また、fにはいわゆるsubtangential条件も仮定しており、fの連続性とHの位相を関係づけるために、HからKへの距離射影Pが、P(V)⊂Vを満たし、P:(V,‖・‖)→(V,‖・‖)の位相で連続であることなどを仮定したが、応用上自然な仮定であることも示した。
つぎに、R^Nにおける2階常微分方程式系u(t)+G'(u(t))=f(t),t∈Rに対して、sub-harmonicな周期解の存在についての結果を得た。ここで、Nは自然数を表し、f∈C(R,R^N)は(1/T)∫^T_0f(t)dt=0を満たすT-周期関数、G∈C^2(R^N,R)は凸性を仮定しない関数である。Morseの不等式を用いることにより、fのノルムが十分小さい場合に、十分大きな素数kに対しT-周期ではないkT-周期解が少なくとも2つ存在することも示した。
さらに、ディリクレ境界条件の下で、特異楕円型方程式-Δu=λu^<-q>+u^pinΩの正値解の多重存在についての結果を得た。ただし、ΩはR^Nの有界集合で、λ>0,q>0,P>1とする。0<-q<1の場合は、Ambrosetti-Brezis-Ceramiの結果が対応する。対応する汎関数の挙動は似ているので同様の結果が成り立つことは自然に予想でき、λ>0が小さいとき、この問題は少なくとも2つの正値弱解を持つことを示した。さらに、得られた正値弱解がある条件の下で古典解であることを示した。その条件とは∂ΩがC^2であることよりはるかに弱い条件である。
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