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擬微分作用素理論のFeynman経路積分への応用

研究課題

研究課題/領域番号 13640161
研究種目

基盤研究(C)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 基礎解析学
研究機関信州大学

研究代表者

一ノ瀬 弥  信州大学, 理学部, 教授 (80144690)

研究分担者 谷内 靖  信州大学, 理学部, 助手 (80332675)
廣川 真男  岡山大学, 理学部, 助教授 (70282788)
森本 芳則  京都大学, 総合人間学部, 教授 (30115646)
研究期間 (年度) 2001 – 2003
研究課題ステータス 完了 (2003年度)
配分額 *注記
3,400千円 (直接経費: 3,400千円)
2003年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2002年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
2001年度: 1,200千円 (直接経費: 1,200千円)
キーワード経路積分 / シュレディンガー方程式 / 母関数 / 汎関数微分 / 擬微分作用素 / 量子観測理論
研究概要

本研究課題の目的は,物理学で用いられている折れ線を用いて定められる経路積分に数学的定義を与えることであり,具体的には主に以下の研究を行うことであった。(1)汎関数の位相空間経路積分の収束及びその作用素による表示を与える。(2)量子力学及び自由場について,source Jを持つ母関数Z(J)の存在を示し,そのJについての汎関数微分の存在とそれが相関関数を与えることを示す。(3)経路積分を用いた摂動理論に数学的証明を与える。
研究成果としては,(2)の自由場の研究と(3)を除いて概ね研究課題を達成することができた。まず,物理学で通常用いられている位相空間経路積分の収束の研究を行い,その経路積分がL^2空間で収束し,それが対応するSchrodinger方程式の解を与えることを示した。次に,位相空間経路積分がL^2空間だけでなくより一般化されたSobolev空間B^aで収束することを示した。これを用いて,位相経路空間上の汎関数Π^N_<j=1>q(t_j)p(t_j)に対する位相空間経路積分の収束の研究を行い,それらの作用素による表示を与えることで,それらが相関関数を与えたり又正準交換関係を与えることを示した。次にこの結果を一般化し,位相経路空間上の汎関数Π^N_<j=1>z_j(q(t_j),p(t_j)に対する位相空間経路積分の収束の研究を行い,この経路積分が収束するためのz_j(x,p)(j=1,2,【triple bond】,N)についての必要十分条件を与えた。又,収束する場合には経路積分の作用素による表示を与え,これによりFeynmanの論文(1948)で発見的に与えられた多くの公式に数学的証明を与えた。次に,量子力学についての母関数Z(J)f(f∈jB^a)が,R^n値連続関数全体からなる空間Xの点Jに対して存在することを示した。更にZ(J)f:X→B^aがJについてFrechet微分可能であり,Frechet微分が相関関数を与えることも示した。この結果は現在投稿準備中である。又各研究分担者は本研究課題に関連して,Wick calculasによる振動型積分作用素の研究,Bose場の量子論の基底状態の遷移の研究,BMO空間とBesov空間についての研究とそれの方程式への応用の研究を行った。

報告書

(4件)
  • 2003 実績報告書   研究成果報告書概要
  • 2002 実績報告書
  • 2001 実績報告書
  • 研究成果

    (29件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (29件)

  • [文献書誌] W.Ichinose: "On convergence of the Feynman path integral in phase space"Osaka J.Math.. 39. 181-208 (2002)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
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      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] W.Ichinose: "Convergence of the Feynman path integral in the weighted Sobolev spaces and the representation of correlation functions"J.Math.Soc.Japan. 55. 957-983 (2003)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
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      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] H.Ando, Y.Morimoto: "Wick calculas and the Cauchy problem for some dispersive equations"Osaka J.Math.. 39. 123-147 (2002)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
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      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Y.Morimoto, C.J.Xu: "Logarithmic Sobolev inequality and semi-linear Dirichlet problem for infinitely degenerate elliptic operators"Asterisque, Soc.Math.France Inst.Henri Poincare. 284. 245-264 (2003)

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      「研究成果報告書概要(和文)」より
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      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] M.Hirokawa: "Ground state transition for two level system coupled with Bose field"Physics Letters A. 294. 13-18 (2002)

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      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] H.Kozono, T.Ogawa, Y.Taniuchi: "Navier-Stokes equations in the Besov space near L^∞ and BMO"Kyushu J.Math.. 57. 303-324 (2003)

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      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] W.Ichinose: "The Feynman path integral representation of Green functions of position and momentum operators"Spectral and Scattering theory and its related topics (suuriken kokyuroku). 1208. 170-182 (2001)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] W.Ichinose: "On convergence of the Feynman path integral in phase space"Osaka J. Math.. 39-1. 181-208 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] W.Ichinose: "Convergence of the Feynman path integral in the weighted Sobolev spaces and the representation of correlation functions"J.Math.Soc.Japan. 55-4. 957-983 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] H.Ando, Y.Morimoto: "Wick calculas and the Cauchy problem for some dispersive equations"Osaka J. Math.. 39-1. 123-147 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Y.Morimoto, C.J.Xu: "Logarithmic Sobolev inequality and semi-linear Dirichlet problem for infinitely degenerate elliptic operators"Asterisque, Soc. Math. France Inst. Henri Poincare. 284. 245-264 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] M.Hirokawa: "Ground state transition for two level system coupled with Bose field"Physics letter A. 294. 13-18 (2002)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] Y.Taniuchi: "A note on the blow up criterion for the inviscid 2-D Bussinesq equations"Lecture note in pure and appl. Math.. 223. 131-140 (2001)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
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      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] T.Ogawa, Y.Taniuchi: "A note on blow up criterion to the 3-D Euler equations in abounded domain"J. Math. Fluid Mech.. 5-1. 17-23 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] H.Kozono, T.Ogawa, Y.Taniuchi: "Navier Stokes equation in the Besov space near L^∞ and BMO"Kyusyu J. Math.. 57-2. 303-324 (2003)

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      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2003 研究成果報告書概要
  • [文献書誌] W.Ichinose: "Convergence of the Feynman path integral in the weighted Sobolev spaces and the representation of correlation functions"J.Math.Soc.Japan. 55・4. 957-983 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] Y.Morimoto, C.J.Xu: "Logarithmic Sobolev inequality and semi-linear Dirichlet problems for infinitely degenerate elliptic operators"Astesisque. 284. 245-264 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] Y.Morimoto, C.J.Xu: "Non-linear hypoellipticity for a class of infinitely degenerate elliptic operators"Collogue Tuniso-Trancais a Homammet. (発表予定). (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] H.Kozono, T.ogawa, Y.Taniuchi: "Navier Stokes equations in the Besov space L^∞-and BHO"Kyuohu J.Math.. 57・2. 303-324 (2003)

    • 関連する報告書
      2003 実績報告書
  • [文献書誌] W.Ichinose: "Convergence of the Feyuman path integral in the weighted sobolev spares and the repvesentction of conelation functions"J. Math. Soc. Japan. (発表予定). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] Y.Morimoto, C-J Xu: "Logarithmic Sobolev in equality and semi-linear Dirichlt problems for in finitely degenercte elliptri operctors"Asterisque Special Vol. in hour of Tean Michel Bony. (発表予定). 245-264 (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] M.Hirokawa: "Ground state transition for two level system coupled with pose field"Physics Letters A. 294. 13-18 (2002)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] T.Ogawa, Y.Taniuchi: "A note on blow up criterion to the 3-D Fulerquations in a bounded domain"J. Math. Fluid Mech.. (発表予定). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] T.Ogawa, Y.Taniuchi: "On blow up criteria of smooth solutions to the 3-D Ealer equations in a bounded domain"J. Pitterenticl Equations. (発表予定). (2003)

    • 関連する報告書
      2002 実績報告書
  • [文献書誌] W. Ichinose: "On convergence of the Feynman path integral"Osaka Journal of Mathematics. 39・1. 1-28 (2002)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] W. Ichinose: "The convrgence of the Feyuman path integrols in the weighted Sobobo spaces and its application to the functional path integrotion"The proceedings of ISAAC Congress Berlin 2001. (発表予定). (2002)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] W. Ichinose: "The Feynman path integral representation of Green functions of position and momentum operators"数理解析研究所講究録. 1208. 170-182 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] H. Ando, Y. Morimoto: "Wick calculus and the Cauthy problem for some dispersive equations"Osaka Journal of Mathematics. 39・1. 123-147 (2002)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書
  • [文献書誌] Y. Taniuchi: "A note on the blow-up interion for the inviscid 2-D Bussinesq quations"Lecture note in pure and appl. math.. 223. 131-140 (2001)

    • 関連する報告書
      2001 実績報告書

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公開日: 2001-04-01   更新日: 2016-04-21  

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