Stanley-Reisner環の理論に現れるKoszul双対性の研究

• 研究課題/領域番号: 13740011
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 柳川 浩二 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (40283006)
• 研究期間 (年度): 2001 – 2002
• 研究課題ステータス: 完了 (2002年度)
• 配分額: 1,800千円 (直接経費: 1,800千円); 2002年度: 900千円 (直接経費: 900千円); 2001年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
• キーワード: Stanley-Reisner環 / アファイン半群環 / squarefree加群 / 尊来圏 / 局所双対性 / Koszul双対性 / 層 / ポアンカレーヴェルディエ双対性 / 単項式 / incidence algebra / Cohen-Macaulay環

研究概要

私は,数年前,組合せ論的可換代数の基本的な概念である「Stanley-Reisenr環」を一般化して,「squarefree加群」を定義した.この概念は,当該分野の道具の一つとして定着しつつある.squarefree加群の有界な導来圏には,3つの「双対性」が存在し,3次対称群の3つの互換の如く作用している.この現象は,Koszul双対性(特に,Bernstein-Gel'fand-Gel'fand対応)と関連している.この研究成果は,Journal of the Mathematical Society of Japanへの掲載が決定している"Derived Category of Squarefree Modules and Local Cohomology with Monomial Ideal Support"にまとめた.(この論文の第一稿は,平成12年度に投稿したが,レフェリーの助言もあり,平成13年度に全面的に改定し,結果を大幅に強めた.また,14年度にも若干の改良を行った.この意味で,この論文は13-14年度の成果でもある.)
Stanley-Reisener環が,対応する単体的複体の位相幾何学的性質を様々に反映しているのに対し,その一般化であるsquarefree加群の幾何学的な意味は,暫くはっきりしなかったが,平成14年度の研究で,(n変数多項式環上の)squarefree加群から,(n-1)次元閉球体上の層が構成でき,自然な(スキーム論における"Proj"と類似の)理論が展開できることが分かった.この文脈では,位相幾何学のポアンカレ・ヴェルディエ双対性と,可換代数の局所双対性が等価となる.この研究成果は,投稿中のプレプリント"Stanley-Reisner rings, sheaves, and Poincare-Verdier duality"にまとめた.

研究成果

• [文献書誌] Kohji Yanagawa: "Bass Numbers of Local Cohomology Modules with Supports in Monomial Ideals"Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.. 131. 45-60 (2001)
• [文献書誌] Kohji Yanagawa: "Sheaves on Finite Postes and Modules over Normal Semigroup Rings"J. Pure and Appl. Algebra. 161. 341-366 (2001)
• [文献書誌] Vic Reiner, Volkmar Welker, Kohji Yanagawa: "Local Cohomology of Stanley-Reisner Rings with supports in General Monomial Ideals"J. Algebra. 244. 706-736 (2001)
• [文献書誌] Kohji Yanagawa: "Squarefree Modules and Local Cohomology Modules at Monomial Ideals"Local Cohomology and Its Applications (G. Lyubeznik, ed.), Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 226. 207-231 (2002)
• [文献書誌] Kohji Yanagawa: "Derived Gategory of Squarefree Modules and Local Cohomonogy with Monomial Ideal Support"J. Math. Soc. Japan. (掲載決定).
• [文献書誌] Kohji Yanagawa: "Cohen-Macaulay initial ideals of simplicial toric ideals"Communications in Algelra. (発表予定).
• [文献書誌] Victor Reiner, Volkman Welker, Kohji Yanagawa: "Local Cohomology of Stanley-Reisner rings with support in general monomlal ideals"Journal of Algelra. 244. 706-736 (2001)
• [文献書誌] Kohji Yanagawa: "Sheaves on finite posets and madules over normal semigroup rings"Journal of pure and applied algelra. 161. 341-366 (2001)
• [文献書誌] Kohji Yanagawa: "Bass numbers of local cohomology modules with supports in monomial ideals"Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 131. 45-60 (2001)