代数体の岩澤理論の非アーベルp-拡大の手法による研究

• 研究課題/領域番号: 13740013
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 島根大学
• 研究代表者: 尾崎 学 島根大学, 総合理工学部, 助教授 (80287961)
• 研究期間 (年度): 2001 – 2002
• 研究課題ステータス: 完了 (2002年度)
• 配分額: 1,600千円 (直接経費: 1,600千円); 2002年度: 800千円 (直接経費: 800千円); 2001年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
• キーワード: 岩澤理論 / 非アーベル拡大 / 円分体 / Z_p-拡大 / 不分岐拡大 / 非アーベルp-拡大

研究概要

本年度得られた研究成果を列挙する:
1.非アーベル的な手法を用いて円分体Q(μ_p^n)(p:素数)の最大不分岐p-拡大のガロワ群G_nの構造を研究し、Vandiver予想の下でその降中心列商X^<(i)>_n=C_i(G_n)/C_<i+1>(G_n)(C_1(G_n)=G_n, C_<i+1>(G_n)=[G_n, C_i(G_n)])の構造をi<N_pについて(N_pはpにのみに依存するある定数)完全に決定した。特に岩澤類数公式の非アーベル類似がこれらのX^<(i)>_nについて成立していることを示すことに成功した。
2.岩澤理論と非アーベル的な手法を用いて、円分体Q(μ_p^2)(p:素数)上の最大不分岐p-拡大(p-類体塔)が無限であるための必要十分条件が、Vandiver予想の下でQ(μ_p^2)のイデアル類群のp-階数が2以上であることを証明した。Vandiver予想を仮定してはいるものの、イデアル類群のp-階数のみで最大不分岐p-拡大の無限性が判定される例は、これが最初であると思われる。
3.1で触れた岩澤類数公式の非アーベル類似よりも少し弱い主張が、任意のZ_p-拡大で成立することを証明した。

研究成果

• [文献書誌] 尾崎 学: "An application of Iwasawa theory to constructing fields Q(ζ+ζ^<-1>) which have class group with large p-rank"Nagoya Math. Journal. 169. (2003)
• [文献書誌] 尾崎 学: "An application of Iwasawa theory to constructing Q(ζ_n+ζ_n^{-1}) which have class group with large p-rank"Nagoya Math. Journal. (掲載予定).