| 研究概要 |
有限次元空間上の線形作用素は行列として表現され,Jordan標準形の理論は最も基本的で重要なものである.以下,作用素は全て可算無限次元Hilbert空間上の有界線形作用素を意味するものとする.作用素は,有限次元の場合より遥かに複雑な現象とかかわっている.有界な作用素はノルムで割り算すると縮小作用素となり,dilation理論等によって深く研究されているが,Jordan標準形の理論に相当する程の解明は,幾つかの特別なクラスを除いては,遠く達成されていない.
一方,具体的な空間の上で具体的に構成される作用素は,構成法に即して研究することができるが,その最も自然で興味深いものの一つは,複素平面の開単位円板上の正則関数をシンボルとする合成作用素である.このとき,合成作用素をノルムで割って縮小作用素にしたものの完全非ユニタリ部分がいわゆるクラスC_0に属するためのシンボルの条件を明らかにし,その時のJordanモデルをシンボルの言葉で明示的に求めることが目的であった.ここで完全非ユニタリな縮小作用素がクラスC_0とは,開単位円板上のある有界正則関数によるSz.Nazy-Foiasのカルキュラスが0となることである.
クラスC_0と関連したクラスとしてalgebraicがある.これはある多項式に"代入"すると0となるような作用素のクラスである。上記目的から,複素平面の連結開集合上の荷重合成作用素がalgebraicとなる必要十分条件をシンボルの言葉で求めるという問題が派生した.その条件を,合成と荷重の2つのシンボルの言葉で完全に記述することが出来,その最小多項式も決定された.
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