凸体の幾何とファジー力学系

• 研究課題/領域番号: 13874008
• 研究種目: 萌芽研究
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679)
• 研究分担者: 日合 文雄 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (30092571) ; 金子 誠 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10007172) ; 麻生 透 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (00111352) ; 尾畑 伸明 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10169360) ; 大野 芳希 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (80005777)
• 研究期間 (年度): 2001 – 2003
• 研究課題ステータス: 完了 (2003年度)
• 配分額: 2,100千円 (直接経費: 2,100千円); 2003年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2002年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2001年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
• キーワード: ネットワーク / 離散曲面 / 無限グラフ / 剛性行列 / 質量行列 / グリーン核 / 熱核 / ファジー・ドラム理論 / ディリクレ境界値問題 / 三角形分割 / 有限要素法 / 数値計算 / 隣接行列 / 離散線識曲面 / 非固有アファイン球面 / ピック不変量 / アファイン空間 / アファイン・シェイプ作用素

研究概要

3次元空間内のネットの幾何学である離散曲面を考察し、その中で、離散非固有アファイン球面を定義し、その分類を行った。これらの離散曲面の連続極限が滑らかな非固有アファイン球面が回復されることを示した。離散及び滑らかな非固有アファイン球面のループ群表示定理を示し、ベックルンド変換を与え、システマティックに大量の例が構成出来ることを示した。
平面有界領域上のディリクレ固有値問題の固有値と固有関数を具体的に数値計算する有限要素法における剛性行列と質量行列を完全に書き下すことに成功し、剛性行列や質量行列とグラフ理論における隣接行列との間の深い関係を明示する定理を示した。この結果、ディリクレ固有値問題の固有値と固有関数がグラフ理論における隣接行列の固有値と固有ベクトルと関係していることを示した。さらにその応用として、数値計算のためのプログラムの計算時間の短縮に役立つことが期待できる。
無限グラフの熱核とグリーン核を無限準正則グラフの場合に具体的に計算した。この結果に熱核とグリーン核比較定理とを合わせて、極めてシャープな熱核とグリーン核の評価定理を得ることが出来た。
ファジー力学系の定式化として、ファジー・ユークリッド空間内の「太鼓の音」の問題を定式化する試みを行い、ファジー・ユークリッド空間上の測度・可測関数、微分形式と外微分、内積と余微分などを厳密に定義することが出来た。ファジー・ドラム理論の新たな進展が出来るものと期待している。

研究成果

• [文献書誌] H.Urakawa: "Yang-Mills theory over compact symplectic manifolds"Annals Global Analysis Geometry. 印刷中. 1-38 (2004)
• [文献書誌] H.Urakawa: "The heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Contemporary Mathematics, Amer.Math.Soc.. 印刷中. (2004)
• [文献書誌] H.Urakawa: "The Dirichlet eigenvalue problem, the finite element method and graph theory"Contemporary Mathematics, Amer.Math.Soc.. 印刷中. (2004)
• [文献書誌] H.Urakawa: "The Cheeger constant, the heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Monatshefte fur Mathematics. 138. 225-237 (2003)
• [文献書誌] H.Urakawa: "Yang-Mills theory and conjugate connections"Differential Geometry and Its Applications. 18. 229-238 (2003)
• [文献書誌] H.Urakawa: "Discrete improper affine spheres"J.Geometry and Physics. 45. 164-183 (2003)
• [文献書誌] H.Urakawa: "The Dirichlet eigenvalue problem, the finite element method and graph theory"Contemporary Math., Amer.Math.Soc.. (発表予定). (2003)
• [文献書誌] H.Urakawa: "The Cheeger constant, the heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Monatshefte fur Mathematik. (発表予定). (2003)
• [文献書誌] H.Urakawa: "Yang-Mills theory and conjugate connections"Differential Geomethy and Its Ahplications. 18. 229-238 (2003)
• [文献書誌] H.Urakawa: "Discrete improper affine spheres"J. Geometry and Physics. 45. 164-183 (2003)
• [文献書誌] H.Urakawa: "Graph theory versus Riemannian geometry"Selected Topics in Geometry and Mathematical Physics. 1. 189-237 (2002)
• [文献書誌] 浦川肇: "スペクトル幾何学とグラフ理論"応用数理. 12. 29-45 (2002)
• [文献書誌] 浦川肇: "数理システム科学"日本放送協会出版会. 230 (2002)
• [文献書誌] H.Urakawa: "Pseudoharmonic maps from nondegenerate CR manifolds to Riemannian manifolds"Indiana University Mathematics Journal. 50. 719-746 (2001)
• [文献書誌] H.Urakawa: "Yang-Mills theory and conjugate counections"Differential Geomety and Its Applications. (2002)
• [文献書誌] 浦川肇: "スペクトル幾何学とグラフ理論"応用数理. 12巻1号. (2002)
• [文献書誌] F.Hiai: "Concavity of certain matrix trace functions"Taiwanese J. Math.. 5. 535-554 (2001)
• [文献書誌] M.Nakamura: "The Cauchy proflem for nonlinear Klein-Gordon equations in the Sobolev spaces"Publ. Res. Inst. Math. Sci.. 37. 255-293 (2001)
• [文献書誌] M.Obata: "Quadratic quantum white noises and Levy Laplacian"Nonlinear Analysis. 47. 2437-2448 (2001)
• [文献書誌] 浦川肇: "数理システム科学連続システム"放送大学. 72 (2002)