| 研究実績の概要 |
Gromovは測度距離空間全体の集合にオブザーバブル距離を考えた空間のコンパクト化を構成した。このコンパクト化の元はピラミッドというある種のヒエラルキーをもつ空ではない測度距離空間の族で記述される。ピラミッドの特別な元として、極小なピラミッドである1点測度距離空間のみからなるものと極大なピラミッドである測度距離空間全体の集合がある。ピラミッドの列P_nが相転移性質をもつとは、ある正の実数列c_nが存在し、正の実数列t_nに対してc_n/t_nが0に収束するときにスケールしたピラミッドt_nP_nが極小なピラミッドに収束し、c_n/t_nがが無限大に発散するときt_nP_nが極大なピラミッドに収束することをいう。このc_nのオーダーを臨界スケールオーダーとよぶ。
Elekは直径1以下の測度距離空間全体の集合にボックス距離を考えた空間のコンパクト化を構成した。このコンパクト化の元は量子測度距離空間とよばれる。量子測度距離空間は直径1以下の測度距離空間の一般化で、ポーランド位相空間とボレル確率測度と量子距離の三つ組である。量子距離とはポーランド位相空間の2点に対して閉区間[0, 1]上のボレル確率測度を対応させる写像でランダムに三角不等式をみたすものである。
今年度得ることができた結果は以下の通りである。(1)ピラミッドの列の相転移性質に関わる研究として閉区間[0, 1]に通常の距離と1次元ルベーグ測度を入れた測度距離空間のl_p直積測度距離空間(1≦p≦2)の直積の個数nに関する列が臨界スケールオーダーnの(-1/p+1/2)乗の相転移性質をもつことを示した。(2)量子測度距離空間全体の集合上にコンパクト化に適合する距離で直径1以下の測度距離空間全体の集合から量子測度距離空間全体の集合への埋め込み写像がボックス距離とこの距離の意味で1-Lipschitzとなるようなものを構成した。
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