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曲線と曲面の変分問題と発展方程式

研究課題

研究課題/領域番号 14204004
研究種目

基盤研究(A)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 幾何学
研究機関大阪大学

研究代表者

小磯 憲史  大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70116028)

研究分担者 満渕 俊樹 (真渕 俊樹)  大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80116102)
西谷 達雄  大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80127117)
梅原 雅顕  大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90193945)
榎 一郎  大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20146806)
後藤 竜司  大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30252571)
長瀬 道弘  大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70034733)
研究期間 (年度) 2002 – 2005
研究課題ステータス 完了 (2005年度)
配分額 *注記
31,460千円 (直接経費: 24,200千円、間接経費: 7,260千円)
2005年度: 7,800千円 (直接経費: 6,000千円、間接経費: 1,800千円)
2004年度: 7,800千円 (直接経費: 6,000千円、間接経費: 1,800千円)
2003年度: 7,800千円 (直接経費: 6,000千円、間接経費: 1,800千円)
2002年度: 8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円)
キーワード変分問題 / 発展方程式 / 曲線 / 曲面 / 弾性曲線 / 極小曲面 / 非連結 / 境界 / 部分多様体 / 一般次元 / 極小部分多様体 / 平均曲率一定超曲面 / 運動方程式 / 解の滑らかさ
研究概要

3次元Euclid空間における閉部分多様体の最も自然な変分問題は1次元なら弾性曲線,2次元なら平均曲率一定曲面であると考えられる.これらはそれぞれ一般次元めEuclid空間においても曲線と超曲面に自然に拡張されるが,中間次元への拡張は良いものが知られていない.
そこで,中間次元でも定義できる新しい変分問題を次のように「極大極小曲面」として定式化した.
極小部分多様体Sとその境界∂Sの組を考える.境界∂Sの体積が与えられたとき,部分多様体Sの体積を最大にするという問題を考える.この変分問題の解を「極大極小部分多様体」とよぶ.
この定義が自然であり,かつ良いものであることを保証する次のような結果を得た.
1 全測地的部分多様体とその平均曲率一定超曲面は極大極小部分多様体である.
2 とくに,任意次元のEuclid空間の任意次元の「丸い」球面は極大極小部分多様体である.
3 さらに,(2)の例はすべて変分問題の解として安定である,すなわち第二変分が非負であり,0であるのは自明な変分ベクトル場に限ることが示される.
4 例が豊富にあることを示唆する事実として,Euclid空間の極小錐SとSと単位球面の交わりの組はすべて特異点を持つ極大極小部分多様体となる.
5 同じく,トーラスに非等質な極大極小面を具体的に構成することができる.
6 条件付き変分問題であるために,安定性が2種類考えられる.外向き単位法ベクトル場方向の第2基本形式の跡kを用いて,それらの間には次の関係がある.k>0ならば,(α)不安定である.k<0ならば,(α)安定性と(β)安定性は同値である.

報告書

(5件)
  • 2005 実績報告書   研究成果報告書概要
  • 2004 実績報告書
  • 2003 実績報告書
  • 2002 実績報告書

研究成果

(18件)

すべて 2005 2004 2003 2002 その他

すべて 雑誌論文

  • [雑誌論文] On a variational problem for soap films, with gravity and partially free boundary2005

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso, Bennett Palmer
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan 52.7

      ページ: 333-355

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Rotational hypersurfaces of periodic mean curvature in the Euclidean spaces2005

    • 著者名/発表者名
      K.Kenmotsu
    • 雑誌名

      Proceedings of the International Workshop on Integrable systems, Geometry, and Visualization 1

      ページ: 99-106

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] On a variational problem for soap films with gravity and partially free boundary2005

    • 著者名/発表者名
      Miyuki Koiso, Bennett Palmer
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan 52.7

      ページ: 333-355

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Rotational hypersurfaces of periodic mean curvature in the Euclidean spaces2005

    • 著者名/発表者名
      K.Kenmotsu
    • 雑誌名

      Proceedings of the International Workshop on Integrable systems, Geometry, and Visualization

      ページ: 99-106

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] On a variational problem for soap films with gravity and partially free boundary2005

    • 著者名/発表者名
      M.Koiso, B.Palmer
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan 57・2

      ページ: 333-355

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] Geometry and stability of bubbles with gravity2005

    • 著者名/発表者名
      M.Koiso, B.Palmer
    • 雑誌名

      Indiana University Mathematics Journal 54・1

      ページ: 65-98

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] Rotational hypersurfaces of periodic mean curvature in the Euclidean spaces2005

    • 著者名/発表者名
      K.Kenmotu
    • 雑誌名

      Proceedings of the International Workshop on Integrable systems, Geometry, and Visualization

      ページ: 99-106

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] The cut loci and the conjugate loci on ellipsoids2004

    • 著者名/発表者名
      J.Itoh, K.Kiyohara
    • 雑誌名

      Manuscripta Math. 114

      ページ: 247-264

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] An analogue of the UP-iteration for constant mean curvature one surfaces in Hyperbolic 3-space2004

    • 著者名/発表者名
      C.Catherine McCune
    • 雑誌名

      Diff.Geom.and its Appl. 20

      ページ: 197-207

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] Mean curvature 1 surfaces in Hyperbolic 3-space with low total curvature I2004

    • 著者名/発表者名
      W.Rossman
    • 雑誌名

      Hiroshima Math.J. 34

      ページ: 21-56

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] The cut loci and the conjugate loci on ellipsoids2004

    • 著者名/発表者名
      J.Itoh
    • 雑誌名

      Manuscripta Math. 114

      ページ: 247-264

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] Kirchhoff elastic rods in the three-sphere2004

    • 著者名/発表者名
      S.Kawakubo
    • 雑誌名

      Tohoku Math.J. 56

      ページ: 205-235

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] Hamiltonian stability of certain minimal Lagrangian submanifolds in complex projective spaces2003

    • 著者名/発表者名
      A.Amarzaya, Y.Ohnita
    • 雑誌名

      Tohoku Math.J. 55

      ページ: 583-610

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Vortex filament equation in a riemannian manifold2003

    • 著者名/発表者名
      N.Koiso
    • 雑誌名

      Tohoku Math.J. 55

      ページ: 311-320

    • NAID

      110000027013

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] An analogue of minimal surface theory in Sl(n,C))2002

    • 著者名/発表者名
      M.Kokubu, M.Takahashi, M.Umehara, K.Yamada
    • 雑誌名

      Trans.Amer.Math.Soc. 354

      ページ: 1299-1325

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] An analogue of minimal surface theory in Sl(n,C)2002

    • 著者名/発表者名
      M.Kokubu, M.Takahashi, M.Umehara, K.Yamada
    • 雑誌名

      Trans.Amer.Math.Soc. 354

      ページ: 1299-1325

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
    • 関連する報告書
      2005 研究成果報告書概要
  • [雑誌論文] Geometry and stability of babbles with gravity

    • 著者名/発表者名
      M.Koiso
    • 雑誌名

      Indiana University Math.J. 発表予定

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書
  • [雑誌論文] On a ravietzonel problem for soap films with gravity and partially free boundary

    • 著者名/発表者名
      M.Koiso
    • 雑誌名

      J.of the Mad.Soc.of Japan 発表予定

    • 関連する報告書
      2004 実績報告書

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公開日: 2002-03-31   更新日: 2016-04-21  

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